专题9.12 巧用函数知识解决规律探索题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

巧用函数知识解决规律探索题 【专题综述】 规律探索题是中考中的常见题型．这类题往往设计新颖，解题时要求具有一定的归纳、猜想、综合论证等能力，所以这类问题有一定的难度，如果我们换个角度，利用函数知识来辅助研究，那么就会变得比较简单． 【方法解读】 1、当自变量与因变量的积为一常数时，可考虑用反比例函数 例1 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和赫兹(H)为单位标刻的．下表中是一些对应的数： 这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，用一个表达式表示出来是_____． 解析 经观察，波长与频率的积为一个常数300 000，故可考虑设反比例函数解析式． 设反比例函数解析式为f＝， 将L＝300，f＝1000代入得＝300 000， 故解析式为f＝． 将L＝500f＝600代入成立，其它代入也成立．故表达式为f＝． 2、当相邻两数的差为一定值时，可考虑用一次函数解析式 例2 按图1所示的规律摆下去，第n个图形需要()个棋子． 解析1 随着图形变化，横每次增加2个棋子，竖每次增加1个棋子．即每次共增加3个棋子． 第1个“T”字需要5个； 第2个“T”字需要5＋3＝8个； 第3个“T”字需要5＋3 x2＝11含； 第n个“T”字需要5＋3（n－1）＝(3n＋2)个． 解析2 如用上述方式考虑不出结论，可考虑用函数知识解决． 当n由1增加到2，棋子s增加了3；当n由2增加到3，s的值仍然增加3，可见，s相邻两数的差为定值，故设函数解析式为s＝n＋b． 将n＝1，s＝11；n＝2，s＝8，代入得 例3 如图2(1)是一个三角形，分别连结这个三角形的三边的中点得图2(2)，再分 别连结图2(2)中间的小三角形的中点得到图2(3)，按此方法继续下去…请你根据每个图 形中三角形个数的规律，完成下列问题： (1)将下表填写完整： (2)在第n个图形中，有_____个三角形（用含n的式子表示）． 解析 我们把图形编号看作自变量n，把三角形个数看作函数s，因为变量s随n的变化而变化，前后两数的差为定值4，所以设函数解析式为s＝n＋b．把n＝1，s＝1；n＝2，s＝5代入，得 所以，s＝4n－3，即第n个图形中有(4n－3)个三角形． 3、利用二次函数 例4 如图3是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数）表示数表中第n行第n列的数． 解析 记第n行第n列的数为S，由于s前后两数的差为连续的偶数，所以不能用上两类函数解决．考虑二次函数，并设S关于行（列）数n的关系式为S＝an2＋bn＋c．依次将第1行第1列、第2行第2列、第3行第3列的行列数1、2、3，以及第1行第1列、第2行第2列、第3行第3列交叉点上的数字1、3、7代入关系式，得 ∴s＝n2－n＋1． 即第n行第n列的数为n2－n＋1． 例5 如图4，平面内有若干条直线，当下列情形时，可将平面最多分成几部分． (1)有一条直线时，最多分成2部分； (2)有二条直线时，最多分成4部分； (3)有三条直线时，最多分成_____部分； (n)有n条直线时，最多分成_____部分． 解析 当n的值依次增加时，y的相邻两数的差为—组连续的自然数，故可考虑设二次函数． 由此可得答案． 总之，对于探求数形规律的题目，借助函数知识解决，往往会收到事半功倍的效果． 其一般步骤如下： (1)将图文信息转化为表格形式； (2)根据函数值的变化规律，确定函数关系式； (3)把特殊情形下的几组值代入这个关系式，列出方程组，并求出方程组的解； (4)写出函数关系式，验证所得关系式是否成立． 【强化训练】 1.（2017临沂）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　） A．11　　　　　　B．12　　　　　　C．13　　　　　　D．14 2.（2017贵州省铜仁市）观察下列关于自然数的式子： 　4×12﹣12① 　4×22﹣32② 　4×32﹣52③ … 根据上述规律，则第2017个式子的值是（　　） A．8064　　　 ... ...