【备战2018年中考数一轮微专题突破】 专题03 折线最小值问题 【专题综述】 初中数中有关折线段的最值问题较为，这种题应用到的基本数知识是线段公理和轴对称，尽管比较简单但这类问题往往伴随转换的思想生很难熟练掌握。我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，解题的基本方法是“利用对称化折线为直线，通过两点之间线段最短得出结论”。 【方法解读】 一、直接应用此结论 例1：如图，A、B在直线L的同侧，点B′是点B关于L的对称点，AB′交L于点P． （1）AB′与AP+BP相等吗？为什么？ （2）在L上取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪一个大？为什么？ 【举一反三】 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____． 二、间接应用此结论 例2：公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合，∠MON＝60°，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是50米，求这3段小路长度之和的最小值. 【举一反三】 1.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值；如果不存在,请说明理由． 2.某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中。点B在点M的北偏西30°的3m处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的m处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 3.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD＝BC＝，AB＝5，CD＝3，抛物线过A、B两点. （1）求b、c； （2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值； （3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求 F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标. 【强化训练】 1．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（ ） A. 140° B. 100° C. 50° D. 40° 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝12，点D为AB的中点，点P为AC上一动点，则PB＋PD的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的 ... ...
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