2017-2018学年七年级数学下册第五章相交线与平行线学科素养思想方法（含解析）（新版）新人教版

第五章 相交线与平行线 学科素养?思想方法 一、转化与化归思想 【思想解读】转化思想是把一种待解决的问题经过某种转化，归类到已经解决的问题中去.转化思想在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化，在解题中经常用到，它包括未知向已知的转化，陌生向熟悉的转化，复杂向简单的转化，抽象向具体的转化；数与形的转化等. 【应用链接】在证明线的位置关系或有关角度计算时，常利用平行线的性质把没有关联的角转化为对顶角或邻补角之间的关系进行处理，反之把具有对顶角或邻补角关系转化为在同一个“三线八角”图形结构中进行处理.21世纪教育网版权所有 【典例1】(2016·金华中考)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20°，∠C= 120°，则∠AED的度数是_____. 【自主解答】如图，延长AE交BC于点F，因为AB∥CD，∠C= 120°，所以∠B=60°，又因为BC∥DE，所以∠AED=∠AFC=∠B+∠A=60°+20°=80°. 答案：80° 【变式训练】(2017·同安区期中)如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判断∠C与∠AED的大小关系吗？并说明理由.2·1·c·n·j·y 【解析】∠C与∠AED相等，理由为： ∵∠1+∠2=180°(已知)， ∠1+∠DFE=180°(邻补角定义)， ∴∠2=∠DFE(同角的补角相等)， ∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)， ∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)， 又∠B=∠3(已知)， ∴∠B=∠ADE(等量代换)， ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)， ∴∠C=∠AED(两直线平行，同位角相等). 二、分类讨论思想 【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决. 【应用链接】在几何问题中，涉及到图形之间的位置关系不定时，需要应用分情况讨论问题的方法. 【典例2】如图，AD∥BC，当点P在射线OM上运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.　【来源：21·世纪·教育·网】 【自主解答】分三种情况进行讨论： ①当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD=∠α+∠β. 理由如下：如图(1)，过点P作PE∥AD交CD于点E. ∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β. ②当点P在BA延长线上时，∠CPD=∠β-∠α. 理由如下：如图(2)，过点P作PE∥AD交CD于点E. 同①可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠β-∠α. ③当点P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β. 理由如下：如图(3)，过点P作PE∥AD交CD于点E. 同②可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠α-∠β. 【变式训练】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_____秒时，边CD恰好与边AB平行.21cnjy.com 【解析】①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°. ∵每秒旋转10°， ∴时间为100°÷10°=10(秒). ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角为270°+10°=280°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为280°÷10°=28(秒)， 综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行. 答案：10或28 三、方程思想 【思想解读】方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合 ... ...