第十讲 多边形及其内角和与外角和培优竞赛辅导（含答案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第十讲 多边形及其内角和与外角和 知识要点梳理 知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形. 总结：对于一个n边形，（n≥3）它有 个顶点， 个内角。 2、多边形的分类: 　　(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形 凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做 边形．【出处：21教育名师】 知识点二：正多边形 叫做正多边形。 注意：各边相等的多边形不是正多边形如菱形 ，各内角也分别相等的多边形 不是正多边形如矩形 。　 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. (1)从n边形一个顶点出发可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 。 (2)n边形共有 条对角线，如六边形共有 条对角线。 例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：n边形的内角和公式为： （n≥3） n边形内角和与边数n 关，每增加1条边，内角和增加 。 2.正边形的每个内角的度数为 。 多边形的外角和公式 公式：多边形的外角和等于 °. 注意：n边形的外角和等于360°，它与边数的多少 关。 例1：四边形ABCD中，如果∠A+∠C =180°，则∠B +∠D的度数是 。 例2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 。 例3. 正八边形的每个内角为 , 度，每一个外角为 度。 例4．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是 。 例5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 。 知识点五：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。 2、实现镶嵌的条件： ；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面 用相同的正多边形地砖铺地面，只有 的地砖可以用。 注意：任意形状、大小完全相同的 也可以铺满地面。 任意形状、大小完全相同但不规则的 地砖也可以铺成无空隙的地板，因为四边形的内角和都等于360°。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形，正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌。 又如，用一个正三角形、两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面， 用 个正三角形、 个正方形、 个正十二边形也能够铺满地面。 用 个正方形、 个正六形、 个正十二边形也能够铺满地面。 规律方法指导 1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边， 内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍. 2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. 3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角. 4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法. 5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用. 基础夯实 1、（1）六边形的内角和是 ，外角和 ... ...