东城21．如图，在菱形ABCD中，，点E在对角线BD上. 将线段CE绕点C顺时针旋转，得到CF，连接DF. （1）求证：BE=DF； （2）连接AC， 若EB=EC ，求证：. 21 . (1) 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴，. ∵， ∴ . ∴. ∵线段由线段绕点顺时针旋转得到， ∴. 在和中， ∴≌. ∴ --2分 (2) 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，. ∴. ∵， ∴. 由（1）可知， ∵， ∴. ∴. ∴. --5分 西城21.如图，在Rt△ABC中，，CD⊥AB于点D， BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE． （1）求证：四边形CDBE为矩形； （2）若AC=2，，求DE的长． 21. （1）证明：如图2. ∵ CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B， ∴ ． ∴ CD∥BE．………………………………… 1分 又∵ BE=CD， ∴ 四边形CDBE为平行四边形．……………2分 又∵， ∴ 四边形CDBE为矩形．……………………………………………… 3分 （2）解：∵ 四边形CDBE为矩形， ∴ DE=BC．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt△ABC中，，CD⊥AB， 可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt△ABC中，，AC=2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分 海淀21．如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点. （1）求的值； （2）若，求证：四边形是矩形. 21．（1）解： ∵AB∥CD， ∴∠ABE=∠EDC. ∵∠BEA=∠DEF， ∴△ABE∽△FDE. ∴. ∵E是BD的中点， ∴BE=DE. ∴AB=DF. ∵F是CD的中点， ∴CF=FD. ∴CD=2AB. ∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD， ∴△ABG∽△CDG. ∴ . （2）证明： ∵AB∥CF，AB=CF， ∴ 四边形ABCF是平行四边形. ∵CE=BE，BE=DE， ∴CE=ED. ∵CF=FD， ∴EF垂直平分CD. ∴∠CFA=90°. ∴四边形是矩形. 朝阳22. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接OE，若∠ABC=60°，且AD=DE=4，求OE的长． 22. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵DE＝CD， ∴AB＝DE. ∴四边形ABDE是平行四边形. ……………………2分 （2）解：∵AD＝DE＝4， ∴AD＝AB＝4. ∴□ABCD是菱形. …………………………………………3分 ∴AB＝BC，AC⊥BD，BO＝，∠ABO＝. 又∵∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°. 在Rt△ABO中， ，. ∴BD＝. ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，. 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥AE. 在Rt△AOE中，.…………………………5分 丰台21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF为菱形； （2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF的面积． 21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF为平行四边形………………1分 ∴∠1=∠3. ∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3.∴BF=DF. ∴四边形BEDF为菱形.………………………2分 （2）解：过点D作DG⊥BC于点G，则∠BGD=90°. ∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°. 由（1）知，BF=DF，∠2=30°，DF∥AB，∴∠DFG=∠ABC=60°. ∵BD=12，∴在Rt△BDG中，DG=6. ∴在Rt△FDG中，DF=. ………………………4分 ∴BF= DF=. ∴S菱形BEDF. ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山21．如图，在四边形中，，， 是边的垂直平分线，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴，， ………… 1分 ∵， ∴， 又∵，， ∴△≌△. ∴. ………… 2分 （2）解：过点作于点， 可得，， 设，则， 在△中， ， ……… 3分 即， 解之，，（不合题意，舍），………… 4分 即. ∴. ………… 5分 昌平21.如图，已知△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB的中线，分别过点A、点C作CE和AB的平行线，交于点 ... ...
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