第2章 对称图形—圆 本章总结提升 问题1 圆的基本性质 垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？圆的内接四边形有什么性质？ 例1 2017·西宁如图2－T－1，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝_____°． 图2－T－1 例2 如图2－T－2，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是_____(填序号)． 图2－T－2 【归纳总结】圆中的性质：圆的对称性；圆心角、弧、弦之间的关系；垂径定理；圆内接四边形的性质等．在利用圆的性质解题时，经常会涉及直角三角形、勾股定理、等腰三角形等知识． 问题2 切线的性质与判定 例3 2017·河南如图2－T－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD. (1)求证：BD＝BF； (2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长． 图2－T－3 【归纳总结】圆的切线的性质： (1)与圆只有一个公共点； (2)圆心到这条直线的距离等于圆的半径； (3)垂直于经过切点的半径． 例4 如图2－T－4，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为，OP＝1，求BC的长． 图2－T－4 【归纳总结】圆的切线的判定方法有： (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ①若已知直线与圆有公共点，则证明经过这点与圆心的半径垂直于这条直线； ②若未明确指出直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于半径． (2)定义：直线与圆有唯一公共点，则直线是圆的切线． 问题3 正多边形与圆 正多边形和圆有什么关系？你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆和内切圆吗？ 例5 2016·秦淮区月考如图2－T－5，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． (1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为_____． (2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 图2－T－5 例6 如图2－T－6，P是⊙O上的一点． (1)在⊙O上求作一点B，使PB是⊙O的内接正三角形的一边； (2)在上求作一点A，使PA是⊙O的内接正方形的一边； (3)求作⊙O的内接正十二边形． 图2－T－6 【归纳总结】正多边形的画法： (1)要作正n边形，只要把一个圆n等分，然后顺次连接各等分点即可． (2)用量角器等分圆：先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，从而作出正n边形． (3)尺规作图法等分圆：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺作出图形．如正方形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形等． 问题4 与扇形的弧长和面积有关的计算 例7 如图2－T－7，阴影部分是两个半径为1的扇形．若α＝120°，β＝60°，则大扇形与小扇形的面积之差为( ) 图2－T－7 A. B. C. D. 例8 如图2－T－8，有一长为4 cm、宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，求点A翻滚到A2位置走过的路径长． 图2－T－8 问题5 圆中的数形结合思想 点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？你能举出这些位置关系的一些实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？ 例9 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，2.5 cm为半径画圆，则⊙ ... ...
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