5 圆 一、圆的认识 1.圆心:用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,圆心一般用字母O表示。圆多次对折之后,折痕相交于圆的中心,即圆心。它到圆上任意一点的距离都相等。 2.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 一般用字母r表示。 3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 4.圆的画法。 (1)借助实物画圆。 把圆形物体平放在纸面上,用铅笔尖绕着圆形物体轮廓画一圈,便可以得到一个圆。 (2)用圆规画圆。 把圆规的两脚叉开,把有针尖的一只脚固定在一个点上,把另一只脚绕这个点旋转一周,就画出了一个圆。 5.等圆:半径相等的圆叫做等圆,等圆通过平移可以完全重合。 同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。 6.在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。用字母表示为d=2r或r=d。 7.圆是轴对称图形。如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 8.画对称轴要用铅笔画,同时要用直尺(三角尺)画出虚线,这条虚线两端要超出图形一点。 9.用圆设计美丽的图案 设计图案时,经常利用圆形组合成美丽的图案。 二、圆的周长 1.圆的周长:围成圆的曲线的长是圆的周长。用字母C表示。 2.圆周率实验:(滚动法)在圆形纸片上做个记号,与直尺的0刻度线对齐,在直尺上滚动一周,得到圆的周长;(测绳法)用线围绕圆形纸片一周,量出线的长度,就是圆的周长。 发现:圆的周长与它直径的比值(圆的周长除以直径)是一个固定值,即3倍多一点,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。 3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pài)表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4.圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘直径,用字母表示为C=πd,或圆的周长等于2乘圆周率乘半径,用字母表示为C=2πr。 (1)已知圆的周长求直径,用圆的周长除以圆周率,用字母表示为d=C÷π。 (2)已知圆的周长求半径,用圆的周长除以圆周率的2倍,用字母表示为r=C÷2π(或r=)。 5.区分圆周长的一半和半圆的周长。 (1)圆周长的一半=圆的周长÷2 计算方法:2πr÷2,即C半=πr。 (2)半圆的周长=圆的周长的一半+直径。 计算方法:半圆的周长=(2+π)r。 推导过程:C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=(2+π)r 三、圆的面积 1.圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。 2.圆面积公式的推导: (1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图形越接近长方形。 长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 3.圆面积的计算方法:因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=圆周长的一半×圆的半径,即S圆=C÷2×r=πr×r=πr2。 圆的面积公式:S圆=πr2 4.环形的面积:一个环形,外圆的半径用字母R表示,内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度) S环=πR2-πr2或S环=π(R2-r2)(建议用这个公式)。 5.组合图形的面积。 (1)外方内圆(内切圆)阴影面积公式:S=r2×(4-π)。 推导过程:S=S正-S圆=d2-πr2=2r×2r-πr2=4r2-πr2=r2×(4-π)。 (2)外圆内方(外切圆)阴影面积公式:S=(π-2)r2。 推导过程:S=S圆-S正=πr2-×2=πr2-2r××2=πr2-2r2=r2×(π-2)(把正方形看成两个面积相等的三角形,三角形的底就是直径,高是半径)。 (3)任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值:4∶π。 (4)解决求组合图形的面积时,一般要将它们分割成几个简单的图形,分别求出简单图形的面积,再求出它们的和或差。 四、扇形 1.圆上两点之间的部分叫做弧。 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半 ... ...
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