21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 浙江版八年级数学上册第一章1.1认识三角形 第2课时 认识三角形（2） 【知识清单】 1、角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线. 2、中线定义：连接三角形一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线. 3、高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高. 4、三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高，等高等底的两个三角形面积相等. 5、★重要性质： （1）三角形的中线平分与它相交的边，并且把一个三角形分成两个面积相等的三角形； （2）一个三角形有三条中线、三条角平分线，并且都在三角形内部，交于一点； （3）每个三角形都有三条高线，且三条高线或所在的直线相交于一点. 6、应用：如图（1）AE是△ABC的∠BAC的平分线，则有∠1=∠2=∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2； 如图（2）AD是△ABC的BC上的中线，则有BD=DC=BC或BC=2BD=2DC； 如图（3）AH是△ABC的BC上的高线，AH⊥BC于H，则有∠AHB=∠AHC=90°. 7、注意：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是线段； （2）高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上； （3）三条角平分线的交点是三角形的外心；三条中线的交点是三角形的重心；三条高线所在直线的交点是三角形的垂心. 8、考点 (1)利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的内角和进行计算角度问题； (2)画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法. 【经典例题】 例题1如图，已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=11cm，AC=7cm，则△ABE的周长比△ACE的周长大多少厘米？若△ABE的面积是和△ACE的面积是，你能得出与大小关系吗？ 【考点】三角形的中线、高线的性质和三角形的周长、面积计算. 【分析】 已知AE为△ABC中BC边上的中线，点E为BC边上的 中点，所以BE=CE，然后分别求出△ABE的周长和△ACE 的周长，再作差比较即可. 要想得出△ABE和△ACE的面积大小关系，需要根据三角形的面积公式（底×高），分别求出△ABE的面积和△ACE的面积，然后作比较. 【解答】 ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE， ∵△ABE的周长=AB＋BE＋AE， △ACE的周长=AC＋CE＋AE =AC＋BE＋AE， ∴△ABE的周长－△ACE的周长=AB－AC=11－7=4（cm） 答：△ABE的周长比△ACE的周长大4cm. ∵=， =， ∴=. 答：△ABE的面积等于△ACE的面积. 【点评】此题主要考查三角形中线和高线的性质以及三角形周长和面积的计算，正确理解三角形中线平分与它相交的边以及同高等底的两个三角形面积相等是解题的关键． 例题2如图，在△ABC中，已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，相交于点O， （1）若∠ABC=40°，∠ACB=64°时，求∠BOC的度数？ （2）若∠BAC=76°时，求∠BOC的度数？ （3）直接写出∠BOC与∠BAC的大小关系 . 【考点】三角形的内角和定理、角平分线的性质. 【分析】（1）已知BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，依据三角形角平分线性质，可以得出，，从而得出∠EBC和∠BCD的度数，再由三角形的内角和定理求出∠BOC的度数； （2）已知∠BAC=76°，依据三角形内角和定理，可以得出（∠ABC＋∠ACB）的度数，进而求 出（∠EBC＋∠DCB）的度数，再由三角形的内角和定理求出∠BOC的度数． （3）由前两题的结论总结规律，得出∠BOC与∠BAC的大小关系. 【解答】 （1）∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴，. ∵∠ABC=40°，∠ACB=64°， ∴=20°，=32°. 在△BOC中， ∠BOC=180°－∠EBC－∠DCB =180°－20°－32°=128°. （2）∵∠BAC=76°， ∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠BAC=104°. ∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴，. ... ...
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