2019年中考数学专题拓展讲练专题七 开放探究题（含解析和答案）

2019年中考数学专题拓展讲练 专题七 开放探究题 一、专题概述 1．开放型问题的类型通常有：条件开放、结论开放等.解决这类问题，首先经过探索确定结论或补全条件将开放型问题转化为封闭型问题，然后作答. 2．探索型问题的类型通常有：结论探索型、存在型等. 解决结论探索型问题，首先要探索出结论，然后加以证明；解决存在型问题，首先假设结论存在，然后推理，若推出矛盾，即否定假设，若推出合理结论，则肯定假设. 二、考点分析 考点一、条件开放型问题 【例1】（2018?金华）如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ． 【答案】答案唯一，如AC=BC 【解析】添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在ADC和BEC 中， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 【名师点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 考点二、结论开放型问题 【例2】（2018?绍兴）小敏思考解决如下问题： 原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ． （1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明． （2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明． （3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）． 【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD， ∵∠EAF=∠B， ∴∠EAF+∠C=180°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵AE⊥BC， ∴AF⊥CD， 在AEB和AFD中， ∴△AEB≌△AFD， ∴AE=AF.[ （2）由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF ∴∠EAP=∠FAQ 在AEP和AFQ中 ∴△AEP≌△AFQ ∴AP=AQ； （3）答案不唯一，如求四边形APCQ的面积. 连接AC、BD交于O， ∵∠ABC=60°，BA=BC， ∴△ABC为等边三角形， ∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD， ∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积， 由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积， OA=AB=2，OB=AB=， ∴四边形ABCD的面积=×2××4=， ∴四边形APCQ的面积=． 考点三、结论探索型问题 【例3】（2018?广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度． 【解析】（1）在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠C=30°， ∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°． （2）如图，结论：． 理由：将绕点B逆时针旋转60°，得到,连接DQ. ∵BD=BQ，∠DBQ=60°，∴是等边三角形， ∴ ∵∠BAD+∠C=270°， ∴∠BAD+∠BAQ=270°， ∴∠DAQ=360°?270°=90°. ∴是直角三角形， ∴. （3）如图，将绕点B逆时针旋转60°到，连接EF， ∵BE=BF，∠EBF=60°， ∴BEF是等边三角形， ∴EF=BE，∠BFE=60°， ∵AE2=BE2+CE2， ∴AE2=EF2+AF2. ∴∠AFE=90°， ∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°. ∴∠BEC=150°， 则动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC=150°， 以BC为边向外作等边,则点E是在以O为圆心 ，OB为半径的圆周上运动. 运动轨迹为BC， ∵OB=AB=1. 则BC=. 考点四、存 ... ...