21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 圆周角 【经典例题】 知识点一 圆心角与弧的度数之间的转化 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求、的度数。 【分析】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数。 【解答】解：连接CD ∵△ABC是直角三角形，∠B＝36° ∴∠A＝90°－36°＝54° ∵AC＝DC ∴∠ADC＝∠A＝54° ∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72° ∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18° ∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角 ∴的度数为72°，的度数为18° 知识点二 圆周角与圆心角之间的换算 【例2】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为_____ 【分析】由OC＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，以及同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出所求即可． 【解答】解：∵OC＝OD，∠COD＝40° ∴∠CDO＝70° ∵AB∥CD ∴∠BOD＝∠CDO＝70° ∵∠BOD与∠A都对 ∴∠A＝∠BOD＝35° 知识点三 利用圆周角定理及推论进行计算 【例3】如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB＝110°，则∠ACB等于（ ） A．55° B．110° C．125° D．140° 【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．利用圆内接四边形的性质即可。 【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD． ∵∠ADB＝∠AOB＝55° ∵∠ACB＋∠ADB＝180° ∴∠ACB＝125° 故选：C． 知识点四 利用圆周角定理及推论进行证明 【例4】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF。求证：AE是⊙O的直径。 【分析】由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可； 【解答】证明：∵BE＝CF ∴＝ ∴∠BAE＝∠CAF ∵AF⊥BC ∴ADC＝90° ∴∠FAD＋∠ACD＝90° ∵∠E＝∠ACB ∴∠E＋∠BAE＝90° ∴∠ABE＝90° ∴AE是⊙O的直径 知识点五 圆外角、圆周角、圆内角之间的转化 【例5】如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，若所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°，求∠P的度数。 【分析】根据圆周角定理求出∠ADC和∠BAD度数，根据三角形外角性质求出∠P即可． 【解答】解：连结AD， ∵所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20° ∴∠BAD＝10°，∠ADC＝50° ∵∠ADC为三角形ADP的外角 ∴∠P＝50°－10°＝40°． 知识点六 圆心角、圆周角性质定理的综合运用 【例6】如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE． （1）求证：EC平分∠BED． （2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE． 【分析】（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB＝90°．推出∠BEC＝∠DEC，于是得到结论； （2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE＝∠COE，于是得到AE＝CE． 【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径 ∴∠AEB＝90° ∴∠DEB＝90° ∵OC⊥AB ∴∠AOC＝∠BOC＝90° ∴∠BEC＝45° ∴∠DEC＝45° ∴∠BEC＝∠DEC 即EC平分∠BEC； （2）连结BC，OE ∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC 在△BEC与△DEC中 ∴△BEC≌△DEC ∴∠CBE＝∠CDE ∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE ∴∠ABE＝∠CBE ∴∠AOE＝∠COE ∴AE＝CE． 【知识巩固】 1. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为( ) A．84° B．60° C．36° D．24° 2. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（ ） A．70° B．80° C．110° D．140° 3. 如图，在⊙O ... ...
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