第6讲 数列数表总复习

第六讲 数列数表总复习 模块一、数列问题： 等差数列基本公式： （1）通项公式：； （2）项数公式：； （3）公差：； （4）数列求和公式：或“和=中间项×项数”。 例1．（1）数列1、3、5、7、…，第18项是 ； （2）数列2、4、6、8、…，其中256是这个数列的第 项； （3）2、4、6、8、10、12，…，是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，则它们中最小的一个是 。 解：（1）第18项是1+2×17=35； （2）d第256项是256×2=512； （3）五个偶数中最中间的一个数是320÷5=64，所以它们中最小的数是60。 例2．有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…，问这列数的第101个是 。 解：3=2+1，5=3+2=2+1+2，8=5+3=2+1+2+3， 12=2+1+2+3+4，17=2+1+2+3+4+5，23=2+1+2+3+4+5+6， 30=2+1+2+3+4+5+6+7， 所以第101个数是2+1+2+3+4+5+…+100=5052。， 模块二：数表问题： 数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格。 首先数表具有数列的一般特征，即各项与其项数之间具有特定的对应关系，可以用通项公式或递推关系表示出来； 然后数表又不等同于普通数列，由于具有一定的形状，因此各项必须受其所在的位置的限制，这点是需要特别注意的。 1．观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先就是找规律问题，这需要观察出突破口； 2．对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来； 3．周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某数在第几行第几列的问题； 4．递推问题：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系； 5．利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等。 例3．用数摆成如图的三角形，请你观察后回答问题： （1）这个三角数列有什么规律； （2）依照规律写出第6行的数列； （3）推出第15行所有数之和是 。 解：（1）两边都是1，中间的数等于它肩上两个数的和； （2）第6行的数是1 6 15 20 15 6 1； （3）第15行所有数的和是215=32×1024=32768 例4．将自然数中的偶数2、4、6、8、10、…，按下表排成五列，则2016在第 列； 解：2016÷4=504，所以2016在第504行，且为最大的一个， 偶数行中最大的一个排在A列， 所以2016在A列。 例5．字母A、B、C、D、E和数字2、0、1、1、分别按下列方式变动其次序 A B C D E 2 0 1 1 B C D E A 0 1 1 2 （第一次变动） C D E A B 1 1 2 0 （第二次变动） D E A B C 1 2 0 1 （第三次变动） ………………………………… 问最少经过 次变动后A B C D E 2 0 1 1将重新出现。 解：ABCDE经过五次变动回到原来的位置，2011经过4次变动回到原来的位置， 所以最少经过20次变动，A B C D E 2 0 1 1将重新出现。 例6．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： （1）第10行左起第5个数是 ； （2）100在第 行，100是这一行左起第 个数； （3）前10行数的总和是 。 解：（1）前9行分别有1、2、3、4、5、6、7、8、9个数， 它们的个数和是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 第10行从46开始，左起第5个数是50； （2）前10行，有45+10=55个数；前11行，有55+11=66行；前12行，有66+12=78个数， 前13行，有78+13=91个数，所以第14行，最小从92开始，100在第14行，是左起第9个数； （3）前10行共有55个数，它们的和为1+2+3+……+55==1540。 随 堂 测 试 1．对于数列4、7、10、13、16、19、…，第10项是 ，49是这个数列的第 项，第100项与第50项的差是 。 解：数列4、7、10、13、16、19、…， 第10项是4+3×9=31； 49是这个数列的第(49?4)÷3+1=16项； 第100项与第50项的差是3×(100?50)=150. 2．有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…，问这列数的第11个是 。 解：3=2+1，5=3+2=2+1+2，8=5+3=2+1+2+3， 12=2+1+2+3+4，17=2+1+2+3+4 ... ...