2019高考数学考点突破--63直接证明与间接证明（解析版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 直接证明与间接证明 【考点梳理】 1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 思维过程 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 书写格式 因为…，所以…或由…，得… 要证…，只需证…，即证… 2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 【考点突破】 考点一、综合法 【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列． (2)若C＝，求证：5a＝3b. [解析] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因为sin B≠0， 所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b， 即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 (2b－a)2＝a2＋b2＋ab， 即有5ab－3b2＝0， 所以5a＝3b. 【类题通法】 掌握综合法证明问题的思路 【对点训练】 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． [解析] (1)由Sn＝，得a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合． 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2. (2)证明：要使得a1，an，am成等比数列， 只需要a＝a1·am， 即(3n－2)2＝1·(3m－2)， 即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n. 所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 考点二、分析法 【例2】已知a>0，求证：－≥a＋－2. [解析] 要证－≥a＋－2， 只需要证＋2≥a＋＋. 因为a>0，故只需要证2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 从而只需要证2≥， 只需要证4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 【类题通法】 1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证． 2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法． 【对点训练】 若a，b∈(1，＋∞)，证明<. [解析] 要证<， 只需证()2<()2， 只需证a＋b－1－ab<0， 即证(a－1)(1－b)<0. 因为a>1，b>1， 所以a－1>0，1－b<0， 即(a－1)(1－b)<0成立， 所以原不等式成立． 考点三、反证法 【例3】(1)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实数根”时，假设为(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实数根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实数根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实数根 (2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. [答案] (1) A [解析] (1)“至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”． (2)假设a，b，c均小于1， 即a<1，b<1，c<1， 则有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3， 两者矛盾，所以假设不成立， 故a，b，c至少有一个不小于1. 【类题通法】 1．反证法证明问题的3步骤 2．反证法的适用范围 (1)否定性命题； (2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的； (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题 ... ...