学科思想 训练题组 分类讨论思想 分类讨论思想方法是指在研究和解决数学问题的过程中，根据要研究问题的本质属性，将问题进行分类，然后逐类进行研究与解决，从而达到研究和解决整个问题目的的一种思想方法．是高中数学常用的思想方法． 例?直线上有两点到平面α的距离相等，这条直线和平面α的位置如何？– 【解析】（1）若直线上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线在平面α内（如图） （2）若直线上的两点在平面α的两侧，且到平面α的距离相等，这时直线与平面α相交（如图）． （3）若直线l上的两点在平面α的同一侧，且到平面α的距离相等（如图）． ∵AA1⊥α于点A1，BB1⊥α于点B1．又?A、B均在l上，且在α的同侧．∴AA1BB1． ∴四边形AA1B1B为一平行四边形．∴AB∥A1B1?∴这时直线l与平面α平行． 【方法技巧】根据直线上的两点与平面的位置不同，分类讨论． 1．一条直线和这条直线外三点可以确定平面的个数为（ ） A．1或3 B．1或4 C．1、3或4 D．1、3或5 2．已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是，则这两个截面间的距离_____． 3．设α∥β，，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS=_____． 4．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、C．则最短路程为多少． 数形结合思想 数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，数形结合思想采用了代数方法和几何方法最 好的方面：几何图形形象直观，便于理解；因此，研究数形结合思想是相当必要的． 例?如图，动点P在正方体ABCD–A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ） 【思路分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D． 【解析】显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，故答案选B． 【答案】B 【点评】通过图形，找出数之间的关系是快速解决此题的关键． 5．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ） A．?? B． C． D．? 6．已知四面体的四个顶点都在球O的球面上，若⊥平面，，且，，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为_____． 8．如图，在四棱锥P–ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°． （1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P–ABCD的正视图．（要求标出尺寸，并画出演算过程）； （2）若M为PA的中点，求证：DM∥面PBC； （3）求三棱锥D–PBC的体积． 转化思想 研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终． 例?如图，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A点． 求：（1）绳子的最短长度的平方f（x）； （2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离． 【思路分析】（1）由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式； （2）由于f（x）=x2+16在区间[0，4]上是一个增函数，可得当x=4时，f（ ... ...
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