第22讲 特殊的平行四边形 命题点1 矩形的性质与判定 1．(2013·河北T12·3分)如图，已知线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业： 甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)． 乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)． 图1 图2 对于两人的作业，下列说法正确的是(A) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 命题点2 菱形的性质与判定 2．(2017·河北T9·3分)求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD. 以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B) A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→② 3．(2013·河北T11·3分)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD, NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(B) A．3 B．4 C．5 D．6 4．(2011·河北T14·3分)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝5． 命题点3 正方形的性质与判定 5．(2011·河北T23·9分)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG. (1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG； (2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)； (3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； (4)当＝时，请直接写出的值． 解：(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°. 又∵CE＝AG， ∴△DCE≌△DAG(SAS)． ∴DE＝DG，∠EDC＝∠GDA. ②又∵∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴∠ADE＋∠GDA＝90°，即∠GDE＝90°. ∴DE⊥DG. (2)如图． (3)猜想：四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点． ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG. ∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD. ∴四边形CKGD是平行四边形． ∴CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF. ∴四边形CEFK为平行四边形． (4)＝. 命题点4 矩形的分割与正方形的拼接 6．(2014·河北T8·2分)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(A) A．2 B．3 C．4 D．5 7．(2015·河北T16·2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A) A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以 命题点5 特殊四边形之间的联系 8．(2016·河北T6·3分)关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是(C) A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形 重难点1 矩形的性质与判定 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点． (1)若AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积． 【思路点拨】(1)在矩形ABCD对角线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与DG的积或转化成AD与CD的积． 【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD ... ...
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