高中物理解题方法之极值法 高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。 二次函数求极值 二次函数，当时，y有极值，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。 例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。 设第一个物体的质量为，速度为。第二个物体的质量为，速度为。碰撞以后的速度分别为和。假使这四个速度都在一条直线上。 根据动量守恒定律有： （1） 如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为，即 （2） 现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。 碰撞中动能损失为 ΔEk=( （3） 转变为数学问题：ΔEk为v的二次函数: 由（1）得：v2ˊ= （4） 将（4）代入（3）得： Ek=[] 二次函数求极值, 当v1ˊ= （5） 时 Ek有极大值。 回到物理问题,将（5）代入（4）得v2ˊ= 此两式表明,m1和m2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔEk)最大。 由公式得 当时，有极小值，若，此时极小值为2。 同理，的极大值为。 求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。 设一个质量为m1，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m1传递给m2动能最大或最小的条件。 设m1原来的速度为V1，碰撞后两物体的速度分别为和，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组： 解此方程得：， m1传递给m2动能，即为m2获得的动能： 。 现在求的极值条件和极值。 当m1= m2时有极小值2，所以当m1= m2时，有极大值，即m1传递给m2动能最大的条件是二者质量相等。此时m1的全部动能传递给m2，也就是说：碰撞之后=0，。这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A和B，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B球，碰撞后A球静止下来，B球摆到与A求原来高度几乎相等的高度。惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。 此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设m2碰前的速度为V2，则方程组变为： 其解为： 则，将的表达式代入此式，并且以Ek1代入，以代入，得： ，当m1= m2时，因后项为零，前项取最大值，故取最大值。此时，m1把原来m2多的那部分动能全部传递给m2。 三角函数求极值： 三角函数，当时，取最小值0，当时，取最大值1，（在0到范围内），同理，时，取最大值1，时，取最小值0。 例3 在倾角=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？ 设所加的外力F与斜面夹角为，物体受力情况如图所示。 N F f G 由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组： 解此方程组，消去N，得： ， 因为为已知，故分子为定值，分母是变量为的三角函数，令 其中，， 即 ， 当时，即 时，取最大值，F最小值为，由于，即，所以将N， ，，代入上式得：当时，F最小值为N，约为173N。 四、导数法求极值： 一般的函数，求一阶导数，令其为零时的值，即为取极值的条件；再求二阶导数，当时，若，则上述极值为极小值；若，则为极大值。 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。 R Ig Rx 证明：设滑线长为，触点一边长为，则另一边长为。当电桥平衡时，待测电阻的计算式是：，求其全微分为： 两边同除以，得： ，这就是待测电阻的相对误差的表达式。 因与滑线长度的读数误差无关，故此项不再考虑，将代入，并考虑到（同一尺上的读数误差），得上式中后两项之和（设为）为： ，设的系数为， 求R对的导数：=， 当时 ... ...
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