第22讲 正弦定理、余弦定理应用举例 （原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1. 仰角、俯角、方位角、方向角、坡度 了解仰角、俯角、方位角、方向角的含义，体会平面方向关系；能合理应用仰角、俯角、方位角、方向角、坡度等概念建立三角函数模型。 Ⅰ 选择题 2. 正弦定理 理解正弦定理含义，能利用公式解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。 Ⅱ 选择题、应用题 3. 余弦定理 理解余弦弦定理含义，能利用公式解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。 Ⅱ 选择题、应用题 1．仰角、俯角、方位角、方向角、坡度 （1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的角叫俯角。 （2）方位角：指从正北方向 转到目标方向线的水平角。 （3）方向角：相对于某 的 ，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等． （4）坡度： 与 所成的二面角的度数． 2．正弦定理 在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形 的半径为R，直径为D。则有： 一个三角形中，各边和所对角的 之比相等，且该 等于该三角形 的直径（半径的2倍）长度。? 余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A（??），B（??），C（??），则如下图所示，在△ABC中，余弦定理表达式1 ： 同理，也可描述为： 勾股定理是余弦定理的特例，当??为?时，?? 余弦定理可简化为??，即勾股定理。 余弦定理表达式2： 余弦定理表达式3（角元形式）： 4．解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后， 与 全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点一、仰角、俯角、方位角、方向角、坡度的概念 例1：已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 【答案】B 【解析】如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝＝50°，∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10° 类题通法 与集合中的仰角、俯角、方位角、方向角、坡度有关的解题策略 (1)确定例题中所列举的各个角分别是那种类型． (2)看这些角的具体度数． (3)根据三角形内角或者平行线夹角的规律计算所求角度． 变式训练 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 2．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 考点二、正弦定理 例2：设、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是m,,.求、两点间的距离（精确到m） 【答案】65.7m 【解析】所求的边AB的对角是已知的，又已知三角形的一边AC，根据三角形内角和定理可计算出AC的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB. 根据正弦定理，得 (m) 类题通法 （1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦 ... ...
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