第52讲 曲线与方程（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．曲线与方程的含义 了解平面直角坐标中的曲线方程和方程的曲线的含义 Ⅰ 选择题，填空题，大题 2．曲线与方程的关系 学会判定一个点是否在已知曲线上 Ⅱ 选择题，填空题，大题 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作 ，这条曲线叫作 ． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合 ． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0． (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 ，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解． 若此方程组无解，则两曲线 ． 考点一、直接法求轨迹方程 例1：已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．求动圆圆心的轨迹C的方程． 【答案】动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x． 【解析】如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|． 当O1不在y轴上时， 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点， ∴|O1M|＝． 又|O1A|＝，∴＝， 化简得，y2＝8x(x≠0)． 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x， ∴ 动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x． 例2：方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】 D 【解析】本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0，故选D． 类题通法 1．如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程． 2．运用直接法应注意的问题： (1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的． (2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 变式训练 1．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程． 2．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 考点二、定义法求轨迹方程 例3：已知点F(1,0)，圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q． (1)求动点Q的轨迹Γ的方程； (2)若直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A，B，当·＝λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围． 【答案】(1)动点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1． (2)S△AOB＝·∈． 【解析】(1)连接QF(图略)．∵|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2(2>|EF|＝2)， ∴点Q的轨迹是以E(－1,0)，F(1,0)为焦点，长轴长2a＝2的椭圆， 即动点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1． (2)依题结合图形(图略)知直线l的斜率不可能为零， 所以设直线l的方程为x＝my＋n(m∈R)． ∵直线l即x－my－n＝0与圆O：x2＋y2＝1相切， ∴＝1，得n2＝m2＋1． 又∵点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)满足： 消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2mny＋n2－2＝0． 由一元二次方程根与系数的关系，得y1＋y2＝－，y1y2＝． 其判别式Δ＝4m2n2－4(m2＋2)(n2－2)＝8(m2－n2＋2)＝8， 又由求根公 ... ...
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