备战2019中考初中数学一轮复习专题导引40讲——29 相似与位似

备战2019年中考初中数学一轮复习专题导引40讲 第29讲 相似与位似 ?考点解读： 知　识　点 名师点晴 比和比例 1．比例 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项． 2．黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用． 3．比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算． 4．平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明． 相似形 5．相似三角形 知道什么是相似三角形． 6．相似三角形的判定和性质 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题． 7．相似多边形的性质 了解相似多边形的性质． 8．位似图形 知道位似是相似的特殊情况．能利用位似放大和缩小一个图形． ?考点解析： 考点1：比例的基本性质、黄金分割 基础知识归纳：1．黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC·AC=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个． 2．比例的基本性质及定理 （1） （2） （3） 基本方法归纳：利用比例的基本性质变形是关键． 注意问题归纳：比例式与乘积式转化时要弄清内外项． 【例1】（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B． C． 1 D． 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2=． ∵S△ADE=S四边形BCED， ∴=， ∴===﹣1． 故选：C． 【变式1】（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解． 【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC， ∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA， ∴=， =， ∴==． 故选：D． 考点2：三角形相似的判定 基础知识归纳：1．相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； （6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 【例2】（2018?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10， ∴AC=5 过点D作DF⊥AC于F， ∴∠AFD=∠CBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠ACB， ∴△ADF∽△CAB， ∴， ∴， 设DF=x，则AD=x， 在Rt△ABD中，BD==， ∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°， ∴△DEF∽△DBA， ∴， ∴， ∴x=2， ∴AD=x=2， 故选：D． 【变式2】（2018?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（　　） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可； （3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知： ... ...