初中数学竞赛指导：初中几何竞赛题的解法探究

初中几何竞赛题的解法探究 题目 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D在BC上，点E在AB上，使得△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，则BE长度为( ) (A)4－2 (B)2－ (C)（－1） (D)－1 一、解题关键要素 在△ABC中，由∠C＝90°，∠A＝60°及AC＝1，知[来源:学科网ZXXK] ∠B＝30°，AB＝2，BC＝，[来源:学科网ZXXK] ∠DAC＋∠ADC＝90°． 又由∠ADE＝90°及AD＝DE，知[来源:学_科_网] ∠DEA＝∠DAE＝45°， ∠ADC＋∠BDE＝90°． ∴∠DAC＝∠BDE＝15°． ∠ADC＝75°． 这里，AD＝DE，LDAC＝∠BDE及30°和75°的角，都是解题的关键要素，是成功解题的入口！[来源:Z,xx,k.Com] 二、解题思路 1．利用AD＝DE及∠DAC＝∠BDE构造全等三角形 解法一 如图2，作EF⊥CB于点F． ∵AD＝DE，LDAC＝∠BDE， ∠ACD＝LDFE， ∴△ACD≌△DFE， ∴EF＝CD，DF＝AC＝1． 设CD＝x， Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴BE＝2x，BF＝x， ∴AE＝2－x． ∵CD＋DF＋BF＝BC， ∴x＋1＋x＝，解得x＝2－， ∴BE＝4－2． 解法二 延长AC到点F，使AF＝DB，连结DF． ∵AD＝DE，∠DAC＝∠BDE， ∴△ADF≌△DEB， ∴DF＝EB，∠F＝∠B． 设 CD＝x Rt△CDF中，∠F＝30°， ∴DF＝2x，CF＝x， ∴BD＝1＋x，[来源:Zxxk.Com] ∵CD＋BD＝BC， ∴x＋1＋x＝，解得x＝2－， ∴BE＝4－2． 2．构造含30°的直角三角形 解法三 如图4，作DF⊥AB于点F． 在Rt△BDF中，∠B＝30°， 设DF＝x，则BF＝x， 在等腰Rt△ADE中， AF＝DF＝x． ∵AF＋BF＝AB， ∴x＋x＝2，解得x＝－1， ∴BE＝AB－AE＝4－2． 解法四 如图5，在AC取点F，连结DF，使FD＝FA， 则有∠FAD＝∠ADF＝15°， ∴∠DGC＝30°． ∵∠ACD＝90°， ∴FD＝2CD． 设CD＝x，则FD＝2x，CF＝x， ∵AF＋CF＝AC． ∴2x＋x＝1，解得x＝2－． 在Rt△ADC中， AD＝，[来源:Z&xx&k.Com] 在等腰Rt△ADE中， AE＝AD＝2－2， ∴BE＝AB－AE＝4－2． 3．构造底角为75°的等腰三角形 解法五 如图6，延长BC到F，使CF＝CB，连结AF． ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BF，∴AF＝AB， ∴∠FAC＝∠BAC＝60°， ∴∠FAD＝∠FDA＝75°， ∴FD＝FA＝2． 设CD＝x，则FD＝＋x＝2， ∴x＝2－． ∴AD＝ ＝， ∴AE＝AD＝2－2， ∴BE＝4－2． 解法六 如图7，延长BC到F，连接AF，使AF＝AD， 则有∠F＝∠ADC＝75°． ∵AC⊥BF， ∴∠FAC＝LDAC＝15°， ∴∠FAD＝∠ABF＝30°， ∴△ADF∽△BAF， ∴[来源:Z#xx#k.Com] 设AD＝x，CD＝y， ∴[来源:学科网ZXXK] ∴x2＝2y， ① Rt△ADC中，x2＝1＋y2 ② 由①、②，得＝2－2， ∴AE＝AD＝2－2， ∴BE＝4－2． 题目 在四边形ABCD中，BC＝8，CD＝12，AD＝10， ∠A＝∠B＝60°，则AB＝_____． 题中四边形ABCD虽是不规则四边形，但条件∠A＝∠B＝60°很特殊．解题的关键是要从60°角出发去添加辅助线，把四边形ABCD通过补形或分割为常见的特殊四边形或三角形，最重要的还要找出60°角所在直角三角形，以便快速准确解题．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 一、把四边形ABCD补形 解法一 补为等边三角形， 如图2，延长AD和BC，交点为E，作DF⊥BE于点F． ∵∠A＝∠B＝60°． ∴∠E＝60°． ∴△EBC是等边三角形， ∴EA＝EB＝AB． ∴EC＝ED＋2． 设DE＝x， 在Rt△DFE中，∠EDF＝30°， 则FE＝0.5x，DF＝x； 在Rt△DFC中， CD2＝DF2＋FC2． ∴122＝(0.5x＋2)2＋(x)2． 解得x＝－1， ∴AB＝AE＝AD＋DE＝9＋． 解法二 补为平行四边形． 如图3，过点A和点D作BC、AB的平行线，并延长BC，交点为E、F，作CG⊥FE于点G． ∴四边形ABEF是平行四边形， ∠GEC＝∠B＝60°， ∠ADF＝∠BAD＝60°， ∴AB＝EF，AF＝BE， ∠F＝∠B＝60°， ∴AF＝DF＝AD＝10． 在Rt△CGE中， CE＝BE－BC＝2，∠ECG＝30°， ∴EG＝1，CG＝； 在Rt△DCG中， DG＝ ＝ ∴AB＝F ... ...