【七年级奥数】第8讲 整式的乘除（例题+练习）

第8讲 整式的乘除———例题 一、解答题 1.计算 【答案】解：原式= = 【解析】【分析】多项式乘以多项式时，应逐项相乘，注意不重不漏(如可先用 乘2x2 ， -3x，1，然后用2x2和-5分别乘2x2 ， -3x，1)，再合并同类项，即可得到结果．熟练之后可以心算。按x的降幂排列，将x的各次项逐一写出，不必再分成几步．另外，观察原式和计算的结果，会发现积的最高次项和常数项恰好分别是两个因式的最高次项的乘积和两个常数项的乘积(即： ?2x5=?x3 ·2x2 ， -5 =-5×1)． 2.设 ，求a与b的值 【答案】解：由题意，可得 所以 【解析】【分析】根据多项式的性质，对应的x次幂的系数应该相等，只需要比较最高次项系数和常数项，即可列出关于a,b的方程，求解即可得出a,b的值；不必将 计算出来。 3.计算 【答案】解；原式= = = = x2(3x2+2)?(5x4+x2+3)= 3x4+2x2?5x4?x2?3= ?2x4+x2?3 【解析】【分析】首先利用拆项的方法，将(3x2+3)拆成(3x2+2+1)，把(3x2+2)与看成一个整体，利用多项式乘以多项式的法则相乘，再逆用乘法分配律，就可将运算简化，最后利用单项式乘以多项式的法则，及去括号法则分别取括号，再合并同类项，就可得出结果。 4.试证明：任何五个相邻的整数的平方和不是平方数． 【答案】证明:设五个相邻的整数分别为n-2、n-1、n、n+1、n+2，(其中n为整数)．则 = n2?4n+4+n2?2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4= 5n2+10= 5(n2+2)平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，所以n2+2的个位数字只能是2、3、6、7、8、1．从而n2+2不被5整除．5(n2+2)被5整除，却不被52整除，所以它不是平方数． 【解析】【分析】设五个相邻的整数分别为n-2、n-1、n、n+1、n+2，(其中n为整数)，则它们的平方和根据完全平方公式去括号，再合并同类项化为最简形式，然后利用提公因式法分解因式，平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，所以n2+2的个位数字只能是2、3、6、7、8、1．从而n2+2不被5整除．5(n2+2)被5整除，却不被52整除，所以它不是平方数． 5.计算 【答案】解： 所以，商式为 3x2?5x?8 ，余式为15x+26． 【解析】【分析】多项式的除法可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式×商式+余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．余式为0时，也称除式整除被除式，用“除式1被除式”表示．如 ；余式不为0时，称除式不能整除被除式；余式为常数时，也称余式为余数．显然，除式为一次多项式时，余式必为常数． 6.计算 【答案】解：原式= = = =1 【解析】【分析】本题是乘除法的混合运算，是同级运算，可以利用乘法的交换律和结合律，以及乘法分配律的逆用，可简化运算。 7.计算 【答案】解：原式= = = 【解析】【分析】连续用平方差公式即可得出整式乘法的结果，本题可以推广为：(a?b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)?()= (a2?b2)(a2+b2)(a4+b4)?()···= ()()= 8.试求 被x-1除所得的余数 【答案】解： = 由乘法公式（a-b）()=an-bn知， ， ， ， ， ， 都可被x-1整除，所以，原式被x-1除所得的余数为2 【解析】【分析】 的次数太高，采用一般的竖式除法显然不易得到结果．在 后面配上-1，利用公式 ，x-1整除 -1285= -1．同样地，在 等的后面全部配上-1．最后要与原式相等，必须加上2．这样，各个括号内的二项式都被x-1整除，所以原式除以x-l后的余数即为2． 本题用了公式 ，(从右到左．注意每个公式都有两种用法：既可从左到右，也可从右到左)，使问题顺利解决． 第8讲 整式的乘除———练习题 一、第8讲整式的乘除（练习题部分） 1.?? 计算下列各式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 2.? 用乘法公式计算下列各式的值 （1） （2）(2+1)(22+1)(24 ... ...