27.2.3 相似三角形的应用（1） 导学案（教师版+学生版）

中小学教育资源及组卷应用平台 27.2.3相似三角形的应用（1） 学习目标： 进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽)问题、 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力． 学习重点：用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度 学习难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题， 学习过程： 一、新知引入 给我一个支点我可以撬起整个地球!———阿基米德你知道其中的原理吗？试一试解决： 如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高_____m。 二、新知讲解 知识点一、 了解平行投影 自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。自然界中最标准的平行光是太阳光。 在平行光线的照射下,物体所产生的影子叫平行投影. 在阳光下，物体的高度与影长有有什么关系? 同一时刻物体的高度与影长成正比，同一物体在不同的时刻影长不相等。 活动1 测高度 怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?（展示图片） 想一想：如何运用“三角形的相似知识”来说明“平行光线的照射下，同一时刻物高与影长成比例”？ 因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用：旗杆的高度和影长组成的三角形_____人身高和影长组成的三角形，再利用相似三角形对应边成比例来求解. 如图： １、旗杆的高度是线段_____；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（____）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？ 2、人的高度与它的影长组成什么三角形（ ____ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？ 3、 △ABC与△A′B′ C ′ 有什么关系?试说明理由.(_____) 例题讲解： 例 　(测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度． 解法一： 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等) 解法二： ●总结：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物高 ：杆高_____物影 ：杆影 (或物高：物影_____杆高：杆影) 巩固练习： 1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 2、某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？ ●总结：利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？ 活动2 测宽度 问题：估算一条很难通过的河的宽度，你有什么好办法吗？思考：河面的宽度测量要借助什么呢？ 例 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ. 分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽． 解法一： 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图，构造相似三角形． ●总结：利用平行线构造相似测宽度 巩固练习： 1、如图，测得 ... ...