第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形 ■知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 ■知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. ■知识点三：解直角三角形的应用 1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 21世纪教育网版权所有 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． ■考点1. 锐角三角函数的定义 ◇典例： 1.（2018年黑龙江省齐齐哈尔市）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ． 【考点】勾股定理、锐角三角函数的定义 【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可． 解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G， ∵tan∠ABD=， ∴=， 设AH=3x，则BH=4x， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202， 解得，x=4， 则AH=12，BH=16， 在Rt△AHD中，HD==5， ∴BD=BH+HD=21， ∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°， ∴∠ABD=∠CBH， ∴=，又BC=10， ∴BG=6，CG=8， ∴DG=BD﹣BG=15， ∴CD==17， 故答案为：17． 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 2.（2018年浙江省丽水）计算：+（﹣2018）0﹣4sin45°+|﹣2|． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算． 解：原式=2+1﹣4×+2 =2+1﹣2+2 =3． 【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． ◆变式训练 1.（2018年云南省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ） A．3 B． C． D． 2.（2018年浙江省绍兴）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1． （2）解方程：x2﹣2x﹣1=0． ■考点2：解直角三角形 ◇典例 （2018年浙江省衢州市）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】圆锥的计算；解直角三角形． 【分析】先根据扇形的面积公式S=L?R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 解：设圆锥的母线长为R，由题意得 15π=π×3×R， 解得R=5． ∴圆锥的高为4， ∴sin∠ABC==， 故选：C． 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜 ... ...
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