清远市2018—2019学年度第一学期期末教学质量检测 高三理科数学答案 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B D A D B A A C C 6．解析：结合正、余弦函数的图像可知，，，故在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为，故选A． 9．解析：可设，，由 ，故选A． 12.如图:(＋)·＝2·＝－2||·|| ≥－2·＝－2，等号在||＝||，即P为OC的中点时成立． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13. -7； 14.；15. ； ； 16. 15.由 得 依题意得，，则 成绩在[50,60)的人数为 X的可能取值为0,1,2. . 16.，则，又，得，所以=，当时，有最大值。 三、解答题 17.（本题满分12分）在中，角的对边分别为，且。 （I）求角的大小； （II）若面积为，且外接圆半径，求的周长。 【解析】（1） ，即…………2分 …………4分 又 …………6分 …………7分 …………8分 面积为 得 …………9分 ∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9， …………10分 ∴（b+c）2=9+3cb=9+12=21，∴b+c= ………11分 ∴周长a+b+c=3+． …………12分 18. （本小题满分12分）一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下： （I）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）； （III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数） 参考数据: 5 20 100 325 1.61 3 4.61 5.78 ,, 解：（I）依散点图可知，选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型。………… 2 分 （II）因为，令，………… 3 分 所以与可看成线性回归 ， ，…………4 分 所以， …………5分 …………6分 所以， …………7分 即， …………8分 （III）由即， …………9分 …………10分 解得， …………11分 要使得产卵数不超过50，则温度控制在以下。 …………12分 本题考查了非线性回归方程及应用，本题为书本选修2-3第86页例题2改编，难度为中档题。难度系数为0.5，平均得分6分。 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，． （I）证明：； （II）若，，求直线与平面所成角的余弦值． 解：（I）证明：连接交于点，连接，四边形为菱形，且为中点 ……1分 平面 ……2分 平面， ……3分 为中点，为的垂直平分线， ……4分 （II）已知，，故 由（I）知则， 又 ……5分 又平面 ……6分 故以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ……7分 则、、、…8分 设平面的一个法向量为，则 ……9分 ，设 ……10分 设直线与平面所成角为 则 ……11分 故直线与平面所成角的余弦值为……12分 20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴的两端点分别为，线段的中点分别为，且四边形是面积为8的矩形． （1）求椭圆C的方程； （2）过作直线交椭圆于P，Q两点，若，求直线的方程． 解析： （1）在矩形中， 所以四边形是正方形 ……………………………………2分 又 ，………………………………….3分 ∴椭圆C的方程为．…………………………...…4分 （2）由（1）可知， 1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2, 由…..……....5分 ∴l：x=-2不满足题意．……………………………………….6分 2）当l的斜率为k时，设l的方程为， 由…7分 则…….8分 ….9分 …………….….10分 …………………………………..11分 综上所述，直线l的方程为或……12分 21. （本小题满分12分）已知函数 （I）讨论的单调性； （II）当，是否存在实数，使得，都有？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由 解：（I）的定义域为 ……1分 ... ...
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