【备考2019中考数学学案】专题一 数学思想方法

专题一 数学思想方法 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的一种结果，它是数学中处理问题的基本观点与策略，是对数学基础知识与基本方法的本质认识与概括熟练掌握数学思想方法有助于提高我们分析问题与解决问题的能力。 类型一 整体思想 整体思想，即在解题时，把具有共同特征的某项或某一类作为一个整体，能抓住问题的整体形式和结构，进行整体处理，使问题迅速得以解决的一种思维方法.应用它可使一些按常规解法不能解或比较繁难的问题迎刃而解. 【典例1】（2018·常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是_____。 【思路导引】设报1，2，3，4，5的人想的数分别是a，b，c，d，e，根据题意可得a＋c＝4，b＋d＝6，…，把它们相加可得a＋b＋c＋d＋e的值，进而再通过代数式的整体相减易于求出d的值. 【自主解答】 【规律方法】（1）运用整体思想解决问题时，不要仅着眼于它的局部特征，而是应放眼于问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.（2）对于代数式求值问题，一般方法是先求出其中所含字母的值再代入代数式进行计算，但当字母的值不能求出或计算非常繁琐时，则可利用整体代入的方法来计算，巧妙简捷获解. 针对训练 1.（2018·贵港）已知a，β是一元二次方程x2＋x-2＝0的两个实数根，则a＋β-αβ的值是（ ）A.3 B.1 C.1 D.-3 2.（2017·舟山）若二元一次方程组的解为则a-b＝（ ） A.1 B.3 C. D. 3.（2016·资阳）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m-n等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.无法确定 4.（2017·襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 5.（2016·菏泽）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为（ ） A.36 B.12 C.6 D.3 6.（2018·包头）若a-3b＝2，3a-b＝6则b-a的值为_____。 7.（2018·成都）已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为_____。 类型二 转化思想 在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，这时可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行转换，将原问题转化为一个在已知知识范围内较易解决的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想我们称之为转化（或化归）思想，它是解决问题的根本思想。 【典例2】（2017·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题:如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是（ ） A.π B.10π C.24＋4π D.24＋5π 【思路导引】把不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积计算.连接OE，OF，OC，OD，由AB∥CD∥EF，则S△ACD＝S△COD，S△AEF＝S△EOF，即阴影部分面积为扇形COD与扇形EOF的面积之和；把扇形EOF沿逆时针方向旋转，让OF与OB重合，连接AE，则可求AE＝6；由CD＝6，得CD＝AE，则扇形COD与扇形AOE完全重合，即阴影部分的面积等于圆面积的一半；计算圆面积，其一半即为所求， 【自主解答】 【规律方法】化归与转化思想的本质就是在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将 ... ...