【鲁教版八下精美学案】6.3.2 正方形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）

第3节 正方形的性质与判定 第2课时 知 识 梳 理 知识点1 正方形的判定方法 1.定义法:_____的矩形是正方形。 几何语言:如图所示， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴矩形ABCD是正方形。 2.定理1:对角线相等的_____是正方形. 几何语言:如图所示， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形。 3.定理2:对角线互相垂直的_____是正方形。 几何语言:如图所示， ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴矩形ABCD是正方形。 4.定理3:_____的菱形是正方形。 几何语言:如图所示， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°， ∴菱形ABCD是正方形。 注意 判定正方形的一般思路: 正方形的判定方法较多，应用时要注意灵活选择。 知识点2平行四边形菱形矩形正方形的关系 注意 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 考 点 突 破 考点1:正方形的判定 【典例1】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE， DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG。 （1）求证:AF＝BF； （2）如果AB＝AC，求证:四边形AFCG是正方形。 思路导析:（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，再根据等角的余角相等可得∠B＝∠BAF，所以AF＝BF.（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG＝CF.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形。 证明:（1）∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC。 即得DE是线段AC的垂直平分线。 ∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB。 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°。 ∴∠B＝∠BAF。∴AF＝BF； （2）:AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE，又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE。 在△AEG和△CEF中， ∴△AEG≌△CEF（AAS）。 ∴AG＝CF，又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形。 ∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形。 在Rt△ABC中，AF＝CF，AF＝BF，∴BF＝CF。 ∴点F是边BC的中点，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC。 即得∠AFC＝90°。∴四边形AFCG是正方形。 友情提示 本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质。 变式1 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_____（只填写序号）。 变式2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F。 （1）求证:BC＝BE； （2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证:四边形ABCD是正方形。 考点2: 正方形的性质中的折叠问题 【典例2】 如图所示，现有一张边APD长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH。 （1）求证:∠APB＝∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论。 思路导析:（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；（2）如图所示，先由AAS证明△ABP≌△QBP得出AP＝PQ，再由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH＝QH.因此，△PDH的周长＝PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8为定值。 解:（1）证明:由折叠的性质可知∠PBC＝∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC， ∴∠APB＝∠BPH。 （2）△PHD的周长不变为定值8。 证明如下； 如图所示，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。 由（1）知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°， BP＝BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP＝QP，AB＝BQ， 又∵AB＝BC ... ...