第2节 二次根式的性质 知 识 梳 理 知识点1 二次根式的性质 1.性质: ＝＝ 二次根式的实质是一个任意实数的平方的算术平方根，所以a的取值范围是任意实数 2.与的不同: （1）字母的取值范围:中的a为任意实数，中的a为非负数； （2）结果:＝＝，＝a（a＜0）， 注意（1）在化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数，0，还是负数.（2）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. 知识点2 积的算术平方根的性质 ＝_____（a≥0，b≥0），这就是说，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。注意（1）在这个性质中，a，b可以是数，也可以是代数式，且必须满足a≥0，b≥0，才能用此式进行计算或化简.如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了，如在运用积的算术平方根的性质计算时，若写成＝×，等式的右边显然没有意义，而应为＝＝×. （2）此性质可以推广到多个非负因数的情况，如（a≥0，b≥0，c≥0，d≥ 0）. （3）这个公式的作用是化简二次根式，如＝＝××＝4×3×＝12. 知识点3 商的算术平方根的性质 ＝_____（a≥0，b＞0），这就是说，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 注意 （1）商的算术平方根的性质的限制条件（a≥0，b＞0），因为分母不能为0，所以被除式a必须是非负的，除式b必须是正数，否则性质不成立。（2）当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数.（3）应用商的算术平方根的性质可以化去根号内的分母，如 。 知识点4 最简二次根式 1.定义: 被开方数都不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.像这样的二次根式叫做最简二次根式。 2.对最简二次根式的概念的理解: （1）被开方数中不含分母，也就是被开方数必须是整数或整式； （2）被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1. （3）一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用二次根式的性质，把它化成最简二次根式.如，，等都是最简二次根式，而，，等都不是最简二次根式。 3.化简二次根式要注意: （1）被开方数较大时，要分解质因数； （2）被开方数是带分数的化成假分数； （3）被开方数是小数的化成分数； （4）被开方数是多项式的，要分解因式 考 点 突 破 考点1:二次根式的性质 【典例1】求下列各式的值： （1），（2，（3）（x＜-1）。 思路导析:求（1）（2）的值直接用＝化简，要注意结果是a或-a，（3）先化简再化简。 解:（1）＝＝1.2；（2）==； （3）==，∵x＜-1，故x＋1＜0， ∴＝-（x＋1）＝-x-1. 友情提示 形如的化简求值，一般先根据公式写成｜a｜的形式，然后再根据a的正负去掉绝对值符号，注意的化简结果是一个非负数。 变式1 若a＋＝0，则＋等于（ ） A.2-2a B.2a-2 C.-2 D.2 变式2 化简下列分式: （1）； （2）； （3）；（4）；（5）（a＜5）。 考点2: 积的算术平方根 【典例2】化简: （1）；（2）；（3）（a＞0，c＞0）；（4）。 思路导析:将被开方数进行因式分解，运用积的算术平方根的性质及＝化简二次根式。 解:（1）＝＝10； （2）＝＝＝××＝28； （3）＝=； （4）＝＝＝×＝6×2＝12。 友情提示（1）直接运用积的算术平方根进行化简一般分为两步，第一步是利用性质将积的算术平方根改写成算术平方根的乘积，第二步是利用二次根式的性质＝进行化简.（2）被开方数能用乘法公式的，先用乘法公式分解因式再进行计算，如（4）题。 变式3 判断下列各式是否正确: （1）；（ ） （2）＝x-y；（ ） （3）＝＝5＋6＝11；（ ） （4）；（ ） （5）＝＝。（ ） 变式4 化简下列各式 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）（a≥0，b≥0）；（8）（x≥0）。 考点3: 商的算术平方根 【典例3】化简: （1）；（2） ... ...
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