专题3 因式分解方法拓展 知识引入 数学是一门训练思维能力的学科，这里列举一题的解法，抛砖引玉，来说明数学中的“借鸡生蛋”. 题目：如果4个空矿泉水瓶可以换一瓶矿泉水，那么现在有15个空矿泉水瓶，问不交钱最多能喝矿泉水多少瓶？ 解：每3个空矿泉水瓶和借一瓶矿泉水喝光后，就成了4个空矿泉水瓶，换一瓶矿泉水再还回去便可，所以15个矿泉水瓶可以最多喝到=5瓶矿泉水. 点评：这里用到了“借”的方法，我们在数学学习中，常常会遇到类似“借”的方法。下面的因式分解你可以利用此方法解答吗？ 例题：分解因式：. 分析：根据题目当中多项式的结构，“借”一项与其相加，则构成一个完全平方项。 解：原式 知识解读 在数学课外活动中，十字相乘法、配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。 1.十字相乘法 ，对于二次三项式因式分解时，可把二次项系数化成a·m，常数项拆成b·n，写成下面的样式。 二次项常数项 此时一次项系数恰好是，即图中对角线两个数字的乘积的和，而因式分解的结果的两个因式的系数恰好是上面两行的数字 2.配方法 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。 3.待定系数法 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定的系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤如下： （1）根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； （2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组； （3）解方程组，求出待定系数，再代人所求问题的结构中去，得到所求问题的解. 培优学案 典例示范 一、十字相乘法 例1 用十字相乘法分解因式： （1）； （2）. 【提示】对二次项系数和常数项分别进行拆分，再进行组合，凑一次项系数. 【解答】 【技巧点评】 对于二次项系数不是1的二次三项式，它的方法特征是“拆两头，凑中间”. 跟踪训练1 1.把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）. 二、配方法 多项式因式分解有以下两个思路： 思路1：应用公式. 由于－12可拆成－6×2，而－6+2=-4，∴. 思路2：利用配方法，再利用平方差公式. . 配方法，就是把多项式的某一部分，通过凑完全平方的方法，达到解决问题的目的. 例2 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； 【提示】（1）和（2）由，1补上两项积的2倍；（3）由，，补上积的2倍. 【解答】 【技巧点评】 形如二次三项式，配完全平方的方法：①已知平方和，缺少的一项必然是平方和的底数的乘积的2倍；②已知前两项，缺少的是常数项，常数项等于一次项系数一半的平方. 跟踪训练2 2.利用配方法，将下列各式因式分解： （1）； （2）. 三、待定系数法 待定系数法简单来说，就是先设出因式分解后的结果，然后根据两个多项式相等，将设出的系数求出来. 例3 如果多项式能分解成一次因式与的乘积（，为整数），则的值应为多少？ 【提示】由待定系数法得到关于，，的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出，，的值. 【解答】 【技巧点评】 待定系数法的一般步骤：先设原多项式可以分解为两个多项式相乘的形式，其中含需求的待定系数，会再将两个多项式相乘，化成与原多项式含有对应项的形式，然后列方程组，再解这个方程组求出待定系数的值. 跟踪训练3 3.分解因式：. 拓展延伸 四、方程思想解决系数问题 例4 已知多项式中有因式，则的值为 （ ） A. B. C. D.不能确定 【技巧点评】 由于可写成，所以方程与方程是同一个方程，这就将这样一个因式分解问题转化为方程问题 ... ...
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