专题9 巧解二次方程与二次函数综合题 知识解读 二次函数的一般形式为，设，得，这是一个关于的一元二次方程.因此二次函数与二次方程有着密切的联系，这种联系表现在： 1.二次函数与轴交点的横坐标，是相应方程的两个实数根，所以利用二次函数的图象可以求出一元二次方程的近似根； 2.二次函数的图象与轴交点的个数由方程根的判别式△=确定： 抛物线与轴有两个公共点，设交点的横坐标，则， 两交点之间距离； 抛物线与轴有唯一公共点； 抛物线与轴没有公共点. 培优学案 典范例题 例1“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是 （用“<”连接） 【提示】依题意，画出函数的图象，如图9-1所示。函数图象为抛物线，开口向上，与轴两个交点的横坐标分别为、.方程转化为，方程的两根是抛物线与直线的两个交点. 通过数形结合求解。 【解答】 跟踪训练 若关于的一元二次方程有实数根1、2，且，有下列结论： ①； ②； ③二次函数的图象与轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）. 其中，结论正确的是 . 【提示】运用方程根的定义，根的判别式，根与系数关系综合判断。 例2已知抛物线与轴交于点A，B，且. （1）求的取值范围； （2）试说明A，B两点都在原点O的左侧； （3）若，求的值. 【提示】（1）抛物线与轴有两个交点，转化为二次方程有两个不相等的实数根，即△>0，解得的范围； （2）即说明.利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可； （3）利用表示出OA，OB的长，将OA+OB=20A·OB-3转化为，再根据根与系数的关系列方程求解，还需注意（1）中的取值范围. 【解答】 跟踪训练 已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与轴交于A，B，，与，轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO-tan∠CBO=1. （1）求证：； （2）求的值； （3）当且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值。 【提示】（1）由题意可知抛物线的对称轴为，利用对称轴公式，化简即得. （2）利用三角函数定义和抛物线与轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求的值将有两组，解题的关键在于处理好线段长与坐标的关系. （3）利用一元二次方程的判别式等于0求解。当时，的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值. 【解答】 例3已知，如图9-2，抛物线的对称轴为，且经过原点，直线交轴于点A，交抛物线于点B，C，O为坐标原点. （1）求二次函数解析式； （2）若，求； （3）若以BC为直径的圆经过原点，求 【提示】（2）由，且两三角形为同高不同底的三角形，易得，考虑计算方便可作B，C对轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为.由B，C为直线与抛物线的交点，则联立方程，由上述倍数关系转化为两根关系，再应用韦达定理，则易得.倘若直接解方程，则计算量非常大；（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解.可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC.而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB·FC=EO·FO.由此构造方程，进而可得值。 【解答】 跟踪训练 1.已知：函数（为常数）. （1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与轴相交于点A（，0），B（，0）两点，且，求抛物线的解析式. 【提示】（1）由于条件中只说该函数图象与坐标轴只有两个交点，并没有明确是什么属性的函数图 ... ...
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