第二章 二次函数 专题8 巧求二次函数解析式 知识解读 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带．它是“数与代数”领域中函数及其图象的难点，而求二次函数的解析式又是重点．求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐．所以应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，一般可归纳为下面四种类型． 1．一般式法 已知图象经过三点，或已知三个独立条件，通常可用一般式求解． 2．顶点式法 已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，通常用顶点式求解，其中顶点坐标是（h，k）． 3．两根式法 已知图象与x轴两交点横坐标，通常用两根式求解，其中x1，x2是图象与x轴两交点横坐标． 4．三种形式的相互关联 从以上分析，不难发现：（1）在不同的条件下，能选准恰当的方法，求解二次函数的解析式就显得比较重要，若方法选择不合理，则求解起来会显得繁琐，而且错误率也高；（2）同一道题中，可通过筛选，分析已知条件找出多种不同的求解方法，即一题多解． 培优学案 典例示范 例1 选择恰当的方法，求二次函数的解析式： （1）图象过（－1，－9），（1，－3），（3，－5）三点； （2）图象顶点（－1，－2），且经过（1，10）； （3）图象与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且经过（3，－4）． 【提示】对照条件，（1）设一般式；（2）设顶点式；（3）设两根式．这种求解析式的方法称为“待定系数法”，基本步骤为：一设，二代，三解，四写． 【解答】 跟踪训练 已知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，且经过点（－1，－1）和（－4，0），求这个二次函数的解析式． 【提示】本题既有与顶点有关的条件，又有与x轴交点有关的条件，所以可选用多种方法． 思路1：（一般式）设，由三个条件列出三个方程，解得a，b，c． 思路2：（顶点式）设，把两个已知点坐标代入即可． 思路3：（两根式）由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0），从而设，再把点（－1，－1）代入即可． 【解答】 例2 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【提示】思路1：平移不改变形状与开口方向，只改变位置，所以可考虑顶点式．原顶点为（－3，－2），新顶点为（－1，1），从而直接写出解析式． 思路2：“变量代换法”，其一般步骤为：（1）设已知抛物线上任意一点为P1（x0，y0），y0与x0的关系式；（2）设平移后的抛物线上的对应点为P（x，y），用坐标表示平移变换，把x0，y0分别用x，y表示；（3）把（2）中的结果代入（1），化简即可得出结果．这种解法与常规的思路1比较，有时计算量会减小． 【解答】 跟踪训练 一条抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得抛物线，求原抛物线的解析式． 【提示】本题若求顶点坐标，则计算比较麻烦，因此适宜采用上述思路2的方法． 【解答】 例3 分别求抛物线关于x轴和关于直线对称的抛物线的解析式． 【提示】思路1：关于x轴对称，二次项系数是原先的相反数，平移前后图象顶点关于x轴对称，写出顶点式；关于直线x＝－1对称，二次项系数不变，顶点关于对称． 思路2：“变量代换法”． 【解答】 例4 如图8－1，抛物线C1：经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值． 【提示】（1）将原点及（2，0）代入C1的解析式． （2）设对称轴交x轴于点E，过点C作CH⊥对称轴DE ... ...
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