专题6 巧用配方法求值 知识解读 将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一.应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧.掌握以下基本等式： （1）； （2）； （3）； （4） （5）当时，，. 培优学案 典例示范 例1已知实数，满足，求的最大值. 【提示】将用含的代数式表示，再代入，得到关于的二次三项式，运用配方法求最大值 【解答】 跟踪训练 若实数，满足，求满足条件的的最大整数值。 【提示】将用含的式子表示，然后配方求解。 【解答】 例2已知，，，求的值. 【提示】将配方成. 【解答】 跟踪训练 1.已知，求的值. 【提示】已知等式具有的特点，自然想到配方。 由得，，再由非负数的性质，可得，.所以. 【解答】 2.设，为实数，求代数式的最小值. 【提示】将原式配方为. 例3因式分解：. 【提示】第一步，拆项分组，得；第二步，配方；第三步，再用平方差公式分解. 【解答】 跟踪训练 因式分解：. 【提示】将改写为. 【解答】 例4 化简： 【提示】将改写成 【解答】 跟踪训练 化简下列二次根式： （1）；（2）；（3） 【提示】（1）； （2）； （3） 【解答】 例5 已知自然数，，满足和，求代数式的值 【提示】由，确定的范围，再由，确定，的范围 【解答】 跟踪训练 已知，求的值 【提示】原等式左边配方变形 【解答】 例6 在平面直角坐标系中，点，之间的距离，由此代数式的最小值 【提示】将所求代数式通过配方变形为，根据两点间距离公式，把问题转化为在轴上有一点，求点到点和点的距离之和的最小值 【解答】 跟踪训练 1.已知，求代数式的值 【提示】原式 【解答】 2.设，，求的值 【提示】由配方，得，，因为，所以， 【解答】 竞赛链接 例7 （浙江省竞赛题）已知，，是整数，且，，求的值 【提示】将代入，配方得 【解答】 跟踪训练 （北京市竞赛题）若，是实数，且，试确定的最小值 【提示】思路一：含有两个字母的二次三项式，一般选择一个字母为主元，分两步配方求解。不妨选择为主元，将整理成关于的二次三项式，利用配方求的最小值。 思路二：本题还可以用一元二次方程根的判别式结合配方法求解 【解答】 培优训练 直击中考 1. ★若代数式可以表示为的形式，则的值为 . 2. ★已知，，则的值 ( ) A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数 3. ★★已知实数满足，则代数式的最小值等于 . 挑战竞赛 1. ★★解方程：. 2. ★★已知，求的值 3. ★★★设. (1)将化为(是不同的整数)的形式； (2)求的最大值及相应的x的值. ... ...
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