专题2 全等三角形判定方法的选择 知识解读 三角形全等判定方法的选择 已知条件 可供选择的判定方法 一边和这边邻角对应相等 选边：只能选角的另一边（SAS） 选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS，ASA） 一边及它的对角对应相等 只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS） 两边对应相等 选边；只能选剩下的一边（SSS） 选角：只能选两边的夹角（SAS） 两角对应相等 只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS．ASA） 典例示范 一、从变换的角度理解“全等” 1．轴对称变换 例1如图1－2－1，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，且AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE． 【提示】从结论“BD＝CE”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD≌△COE得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD≌△ABE”得到AD＝AE，然后运用等式性质证得． 从题设看，由“AB＝AC，∠B＝∠C”加上公共角∠A，可得△ACD≌△ABE，所以我们考虑使用思路二给出证明过程． 【解答】 【技巧点评】 哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD和CE也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD和CE置于一对轴对称的三角形中，且BD和CE恰好是一对对应边. 跟踪训练 1．如图1－2－2，已知AB＝DC，AE＝DF，CE＝FB．求证：AF＝DE． 2．旋转变换 例2如图1－2－3，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE，BF，试判断△BDF与△CDE全等吗？BF与CE有何位置关系？ 【提示】若△BDF与△CDE全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD＝CD，加上DE＝DF，即可根据“SAS”得到两个三角形全等． 【解答】 【技巧点评】 本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF与△CDE是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便． 跟踪训练 2．如图1－2－4，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，求证：BC＝ED． 二、线段和角度相等，常考虑证全等 例3如图1－2－5，AC交BD于点O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B． 【提示】要证明∠C＝∠B，可考虑将∠C和∠B置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD全等不容易证明，可考虑连接AD，证明△ACD与△DBA全等． 【解答】 跟踪训练 3．已知，如图1－2－6，AD⊥DB，BC⊥CA，AC，BD相交于点O，且AC＝BD，求证：AD＝BC． 【技巧点评】 由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法． 利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系． 跟踪训练 4．如图1－2－7，A，D，B三点在同一条直线上，△ADC，△BDO均为等腰三角形，AO，BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论． 三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角 例4如图1－2－8，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线一点，CG＝AB，连接AG，AF． （1）求证：∠ABD＝∠ACE； （2）探求线段AF，AG有什么关系，并证明． 【提示】（1）∠ABD，∠ACE都和∠BAC互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD＝∠ACE；（2）由已知条件“BF＝AC”“CG＝AB” “∠ABD＝∠ACE”可证明△ABF≌△GCA，AF，AG恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G＝∠BAF，∠G＋∠GAE＝90°，因此∠GAF＝90°，所以AF和AG的位置关系是垂直． 【解答】 【技巧点评】 （1） ... ...
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