专题8 巧求圆中阴影部分的面积 【知识解读】 求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法． 培优学案 【典例示范】 等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法． 例1 如图1－8－1，点P是半径为1的⊙O外一点，OP＝2，PA切⊙O于点A，弦AB∥OP，连接PB，则图中阴影部分的面积是 ． 【跟踪训练】 如图1－8－2，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，C为切点，过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E．已知AB＝6，BC＝3，求图中阴影部分的面积． 【解答】 和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差． 例2 如图1－8－3，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当CD＝OD时，图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪训练】 如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）． 割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法． 例3 如图1－8－5，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【跟踪训练】 如图1－8－6，将半圆O绕直径AB的端点B逆时针旋转30°，得到半圆O′，A′B交直径AB于点C，若BC＝，则图中阴影部分的面积为 ． 【提示】连接O′C，A′C，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO′C的面积加上扇形O′AC的面积． 特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解． 例4 如图1－8－7，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a＞r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( ) A． B． C． D． 【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积． 【跟踪训练】 如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ） A． B． C． D． 整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理． 例5 如图1－8－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ． 【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A，B两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求． 【跟踪训练】 1.如图1-8-10，正方形的边长a，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差. 2.如图1-8-11，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm2. 【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。 3.如图1-8-12，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于 . 【提示】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形，由条件容易判断阴影部分的 ... ...
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