第三章 圆复习学案（含答案）

第三章　圆 　　1.解决与弦有关的问题 　　垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法———构造直角三角形;在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线———圆心到弦的距离. 【例】如图,平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2. (1)求☉P的半径. (2)将☉P向下平移,求☉P与x轴相切时平移的距离. 【标准解答】(1)作PC⊥AB于C,连接PA.∴AC=CB=AB. ∵AB=2,∴AC=. ∵点P的坐标为(3,-1),∴PC=1. 在Rt△PAC中,∠PCA=90°, ∴PA===2. ∴☉P的半径为2. (2)将☉P向下平移,☉P与x轴相切时平移的距离为2-1=1. 1.如图,☉O的直径CD=5cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OD=3∶5.则AB的长是　(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.2cm 1题图 2题图 2.如图☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,则CD的长为 (　　) A.2　　　 B.4　　 　C.4　　　 D.8 3.☉O过点B,C,圆心O在等腰直角△ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则☉O的半径为　(　　) A. B.2 C. D.3 　　2.与圆心角、圆周角有关的问题 　　(1)利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化. 　　(2)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化. 　　(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件. 　　(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角. 【例1】如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于　 (　　) A.30°　　 B.35°　 　 C.40°　 　D.50° 【标准解答】选C.∵∠APD是△APC的外角,∴∠APD=∠C+∠A; ∵∠A=30°,∠APD=70°, ∴∠C=∠APD-∠A=40°. ∴∠B=∠C=40°. 【例2】如图,将三角板的直角顶点放在☉O的圆心上,两条直角边分别交☉O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB,则∠APB的大小为　　　　度. 【标准解答】∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角, ∴∠APB=∠AOB=×90°=45°. 答案:45 【例3】如图,☉O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,则∠ACD的度数是　　　. 【标准解答】连接AD, ∵CD是直径, ∴∠CAD=90°, ∵∠B=40°, ∴∠D=40°, ∴∠ACD=50°. 答案:50° 【例4】如图,四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,∠DAB=49°,则∠AOC的度数为　　　　. 【标准解答】如图,在上取点M,连接AM,CM, ∵AD∥BC,∠DAB=49°, ∴∠ABC=131°, ∴∠M=49°, ∠AOC=98°. 答案:98° 1.如图,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为　(　　) A.25° B.30° C.40° D.50° 1题图 2题图 3题图 2.如图,AB是☉O的直径,C,D,E都是☉O上的点,则∠ACE+∠BDE=　(　　) A.60° B.75° C.90° D.120° 3.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=　　　°. 4.如图,AB是☉O的直径,C是弧AE的中点,CD⊥AB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF. 　　3.切线的判定与性质 　　(1)切线的三种判定方法 　　①从公共点的个数来判断:直线与圆有且只有一个公共点; 　　②从圆心到直线的距离来判断:圆心到直线的距离等于圆的半径; 　　③应用判定定理:经过半径外端且与半径垂直. 　　(2)利用切线的判定定理的两个思路 　　①连半径,证垂直: 　　若已知直线与圆有公共点,则连接圆心和公共点,证明垂直. 　　②作垂线,证等径: 　　若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径. 　　(3)切线性质应用的两个思路 　　①有切点:连接切点和半径,必垂直,建直角三角形; 　　②无切点:过圆心作半径,必垂直,得切点,建直角三角形. 【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°①,∠ABC的平分线交AC于点E②,过点E作BE的垂线于点F③,☉O是△BEF的外接圆. (1)求证:AC是☉O的切线④. (2)过点E作EH⊥AB于点H⑤, 求证:CD=HF. 【信息解读·破译解题秘钥】 条件②直译 ... ...