【鲁教版八下精美学案】9.4.2 探索三角形相似的条件（知识构建+考点归纳+真题训练）

第九章 图形的相似 第4节 探索三角形相似的条件 第2课时 知 识 梳 理 知识点1 相似三角形的判定定理二 1.定理：两边_____且夹角_____的两个三角形相似。 2.符号语言: 如图所示，如果，且∠A＝∠A'，则△ABC∽△A′B′C′。 注意（1）当两边对应成比例时，只有具备“夹角”相等才能相似，并不是任意角相等；仅两边成比例，其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似。（2）找夹角相等的条件应充分考虑“对顶角”“公共角”。（3）当条件有两边的长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来得到两三角形相似。（4）特别地，若两个直角三角形的两直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。 知识点2 证明相似三角形的一般思路 （1）有一对等角，找 ①另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似； ②等角的两边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （2）有两边成比例，找 夹角相等→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三角形是直角三角形，找 ①一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似； ②两组直角边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （4）三角形是等腰三角形，找 ①顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似； ②一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似。 考 点 突 破 考点1:相似三角形的判定定理二 典例1 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ） 思路导析:根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案。 答案:D 友情提示 此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两个三角形相似是解题关键。 变式1 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形.若OA:OC＝OB:OD，则下列结论中一定正确的是（ ） A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 变式2 如图所示，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A. B. C. D. 考点2:利用相似三角形的判定定理二进行计算 典例2已知:如图所示，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA':AA′＝OB':BB'＝1:2，OC':CC′＝2:1，且OB＝6. （1）求证:△OA'B'∽△OAB； （2）以O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由。 思路导析:（1）根据两边成比例夹角相等即可证明；（2）要使以O，B'，C'为顶点的三角形与△OBC相似，只要满足，想办法构建方程即可解决问题. 解：（1）证明:∵OA':AA'＝OB':BB'＝1:2，∴OA＇:OA＝OB′:OB＝1:3. ∵∠A′OB′＝∠AOB，∴△OA＇B′∽△OAB； （2）可能相似.理由如下: ∵OA':AA'＝OB＇:BB′＝1:2，OB＝6，∴OB'＝2. ∵OC':CC'＝2:1，∠COB＝∠C'OB'，设CC＇＝x，OC′＝2x，OC＝3x， 要使以O，B'，C'为顶点的三角形与△OBC相似，只要满足， ∴，∴x＝±，∵x＞0，∴x＝.∴OC＝3。 友情提示 本题考查相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会构建方程解决问题。 变式3 如图所示，在△ABC中，CD是边AB上的高，且。 （1）求证:△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小。 变式4 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接BE。 （1）求证:△ABE∽△DEF （2）若正方形的边长为4，求BG的长。 考点3:利用相似三角形的判定定理二进行相关证明 典例3 如图所示，在正方形 ABCD中，P为CD的中点，Q为BC上一点，且PC＝2CQ. 求证:△PCQ∽△ADP. 证明:∵四边形ABCD是正方形，P为CD的中点 ... ...