第五章 轴对称与旋转 章前导学 几何图形在经过平移、翻折和旋转后，其形状和大小不变。 平移在前面已经介绍过，因此本章安排了轴对称和旋转两个方面的内容. 1.利用轴对称图形的概念设计轴对称图形，利用轴对称的知识设计最短路径和证明某些命题。 2.计算图形旋转时点经过的路径和图形扫过的面积，利用旋转的知识解决简单的问题。 专题16 轴对称 知识解读 1. 设计轴对称图形 将一个图形沿着某条直线翻折，其两边的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形。设计轴对称图形时，应先找出对称轴，再在其两侧对称设计. 2. 利用轴对称设计最短路径 将军饮马问题是典型的利用轴对称设计最短路径问题。 将军饮马问题：如图16-1①所示，将军准备从A点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B地，那么走怎样的路线最短呢？ 解析：如图16-1②所示，先取A（或B）关于直线L的对称点A'，连接A'B，与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，且PA+PB即为最短路线. 3. 利用轴对称证明 轴对称和平移一样，不改变图形的形状和大小，借助轴对称可将原来较为分散的图形集中到一起，方便证明和计算. 培优学案 典例示范 1.设计轴对称图形 例1如图16-2①，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形. 如图16-2②是一种涂法，请在图16-3中分别设计另外三种涂法.（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图16-2②与图16-2③） 提示：将16个小三角形中的8个涂黑就可满足条件（1），而正方形本身就是一个轴对称图形，其有四条对称轴，因此可在正方形对称轴的一侧任意涂上四个小三角形，然后对称着涂另外四个． ① ② ③ 图16-2 图16-3 【技巧点评】 将一个图形沿着某条直线翻折，其两边的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形．设计轴对称图形时，应先找出对称轴，再在其两侧对称设计. 跟踪训练 用四块如图16-4①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图16-4②、图16-4③、图16-4④中各画一种拼法（要求三种拼法各不相同）. ① ② ③ ④ 图16-4 2. 利用轴对称设计最短路径 例2 如图16-5，OX，OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两条公路上建两个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问两加油站应如何选址. 提示：本题的问题可化为在锐角∠XOY内部有一个点A，试作一个三角形，以A为一个顶点，另外两个顶点分别在OX，OY上，且使其周长最小，即取A关于OX，OY的对称点A1，A2，连接A1A2交OX，OY于B，C.则B，C两点即为所求． 图16-5 【技巧点评】 本题是“将军饮马”问题的引申． 跟踪训练 2.如图16-6，在无盖的圆柱形桶外，有一只小虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．如果小虫爬行的是最短途径，它应怎么走？ 图16-6 3.利用轴对称证明 例3 已知：如图16-7，△ABC中，AB=AC，过点A的直线MN/∥BC，点P是MN上的任意点． 求证：PB+PC≥2AB. 提示：本题是要证PB，PC，及2AB之间的大小关系，联想到三角形两边之和大于第三边，借助轴对称作点C关于MN的对称点C'，连接PC'和AC'，再证AB与AC'共线，这样将这些线段集中到一个三角形中． 图16-7 【技巧点评】 图形的变换是转移和集中线段最有效的方法，本题的图形变换是轴对称变换．注意本题要证的是大于或等于的关系，所以要分两种情形来证，即P与A重合和不重合两种情形． 跟踪训练 3.如图16-8，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°∠BDC．求证：AC＝BD+CD． 图16-8 培优训练 直击中考 1.（2017?江苏盐城）下列图形中，是轴对称图形的是（ ... ...
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