几何图形中的等量关系式 1. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E.若∠A＝α，∠E＝β，则( ) 第1题图 A. β－α＝0 B. 2β－α＝0 C. 3β－α＝0 D. 3β－2α＝0 B 【解析】∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠E＝∠ECD－∠EBD＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A，∴2∠E＝∠A，即2β－α＝0. 2. 如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点(与点C，D不重合)，∠PBQ＝45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则( ) 第2题图 A. BP·BE＝2 B. BP·BE＝4 C. ＝ D. ＝ 第2题解图 B 【解析】如解图，连接AP，过点E作EM⊥PB于M.∵AE∥PB，∴S△PBE＝S△ABP＝S正方形ABCD＝2，∴·PB·EM＝2，∵∠EBM＝45°，∠EMB＝90°，∴EM＝BE，∴·PB·BE＝2，∴PB·BE＝4. 3. 如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，则( ) 第3题图 A. BC＝2DF B. 2BC＝3DF C. BC＝3DF D. 3BC＝4DF A 【解析】∵OD⊥弦BC于点E，∴CE＝BE，∴2BE＝BC，∵DF⊥AB于点F.∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴DF＝BE，∴BC＝2DF. 4. 我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．如图，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，E、F分别是AD、BC的中点，则( ) 第4题图 A. EF＝AC B. EF＝AC C. EF＝AC D. EF＝AC 第4题解图 C 【解析】如解图，连接BE并延长至M，使BE＝EM，连接DM、AM、CM，∵AE＝ED，∴四边形MABD是平行四边形，∴BD＝AM，BD∥AM，∴∠MAC＝∠AOB＝60°，又∵AC＝BD＝AM，∴△AMC是等边三角形，∴CM＝AC，在△BMC中，∵BE＝EM，BF＝FC，∴EF＝CM＝AC. 5. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则( ) 第5题图 A. 3∠A＝2∠1－∠2 B. 3∠A＝2(∠1－∠2) C. 2∠A＝∠1－∠2 D. ∠A＝∠1－∠2 C 【解析】如解图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝(180°－∠1)，∵在△ADE中，∠AED＝180°－∠3－∠A，∠CED＝∠3＋∠A，∠A′ED＝∠CED＋∠2＝∠3＋∠A＋∠2，∴180°－∠3－∠A＝∠3＋∠A＋∠2，整理得，2∠3＋2∠A＋∠2＝180°，∴2×(180°－∠1)＋2∠A＋∠2＝180°，∴2∠A＝∠1－∠2. 第5题解图 6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF，则( ) 第6题图 A. BF＝AE B. BF＝2AE C. BF＝3AE D. BF＝AE B 【解析】∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE. 7. 如图，已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE，连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G，EM⊥AC于点M，连接DM，则( ) 第7题图 A. DG＋EM＝AM B. 2DG＋2EM＝AM C. AM－2EM＝DG D. AM－EM＝2DG D 【解析】如解图，过D点作DK⊥DM交AC于点K，∠2＋∠KDF＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠1＋∠KDF＝90°，∴∠1＝∠2，又∵∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠EFM＝90°，∠4＝∠EFM，∴∠3＝∠5，∴△ADK≌△EDM(ASA)，∴DK＝DM，AK＝EM，∴△MDK为等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK＝2KG＝2DG，∴AM－EM＝AM－AK＝MK＝2DG. 第7题解图 8. 如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，交AC于点G，连接CF，则( ) 第8题图 A. CG＝2AG B. CG＝3AG C. 2CG＝3AG D. 3CG＝4AG A 【解析】如解图，过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线 ... ...
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