三角形、四边形实践探究 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动,同时,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F． (1)当点D在线段AB上时,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDG E的形状,并证明你的结论； (2)过点D作直线BC的垂线,垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论． 解:(1)四边形CDGE是平行四边形． 理由:如解图①,∵D、E移动的速度相同, ∴BD=CE, ∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠DGB, ∴BD=GD=CE, 又∵DG∥CE, ∴四边形CDGE是平行四边形； (2)BM＋CF=MF或BM－CF=MF. 【解法提示】如解图②,当点D在线段AB上时,由(1)得:BD=GD=CE,∵DM⊥BC, ∴BM=GM, ∵四边形CDGE是平行四边形,∴GF=CF, ∴BM＋CF=GM＋GF=MF； 如解图③,当点D在线段BA的延长线上时,同理可得四边形ADGE是平行四边形, ∴CF=GF, ∵DG∥AE, ∴∠DGB=∠ABG,∴BD=DG, ∵DM⊥BC, ∴BM=MG, ∵MF=MG－FG, ∴BM－CF=MF. 第1题解图 2.如图①所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的长方形CEFD拼 在一起,构成一个大的长方形ABEF,现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为α． 当边CD′恰好经过EF的中点H时,求旋转角α的大小； 如图②,G为BC中点,连接GD′,DE′,且0°＜α＜90°,求证:GD′=E′D； (3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD′ 与△BCD′能否全等？若能,直接写出旋 转角α的大小；若不能,说明理由． 第2题图 解:如解图,∵边CD′恰好经过EF的中点H, ∴EH=EF=1=CE, ∴△CEH为等腰直角三角形, ∴∠ECH=45°, ∴α=45°； 证明:∵G为BC中点, ∴CG=1, ∴CG=CE, ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′, ∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′=CG, ∴∠GCD′=∠DCE′=90°＋α, 在△GCD′和△E′CD中,, ∴△GCD′≌△E′CD(SAS), ∴GD′=E′D； 解:能． 理由: ∵四边形ABCD为正方形, ∴CB=CD, ∵CD′=CD′, ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形, 当∠BCD′=∠DCD′时,△BCD′≌△DCD′, 当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时,则旋转角α= 180°?=135°, 当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时,∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45° 则α=360°－=315°, 即旋转角α的值为135°或315°时,△BCD′与△DCD′全等. 第2题解图 3.如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG． （1）求证：BE＝2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 第3题图 （1）证明:如解图，过点F作FH⊥BE于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°， ∴四边形BCFH为矩形， ∴BH＝CF， 又∵BF＝EF， ∴BE＝2BH， ∴BE＝2CF； （2）解:四边形BFGN为菱形， 证明:∵MN⊥EF， ∴∠E＋∠EBM＝90°，且∠EBM＝∠ABN， ∴∠ABN＋∠E＝90°， ∵BF＝EF， ∴∠E＝∠EBF， ∴∠ABN＋∠EBF＝90°， 又∵∠EBC＝90°， ∴∠CBF＋∠EBF＝90°， ∴∠ABN＝∠CBF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠NAB＝∠BCF＝90°， 在△ABN和△CBF中， ， ∴△ABN≌△CBF（ASA）， ∴BF＝BN， 又由旋转可得EF＝FG＝BF，∴BN＝FG， ∵∠GFM＝∠BME＝90°，∴BN∥FG， ∴四边形BFGN为菱形． 第3题解图 4.在△ABC中，P为边AB上一点． （1）如图①，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB； （2）若M为CP的中点，AC＝2． ①如图②，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长； ②如图③，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长． 图① 图② 图③ 第4题图 ... ...
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