【备考2019】专题三 几何图形的最值问题（专项知识讲解+备考演练）

中考数学二轮复习·专项训练 专项三 几何图形的最值问题 重 点 知 识 讲 解 类型一 线段(周长)最值问题 1．在求几何图形中的周长或线段长度最值时，解决此类问题的方法一般是先将要求的线段(要求的量)用未知数x表示出来，建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式)，常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式，再用函数的增减性或最值来求解即可． 2．利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求直线l上一动点P到点A，B距离之和的最小值，先作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P点，根据对称性可知此时A′B的长即为PA＋PB的最小值，求出A′B的值即可． 经典例题1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为 ． 【解析】如图所示，在AB上取点C′，使AC′＝AC，过点C′作C′F⊥AC.垂足为F，交AD于点E.在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10.∵AC＝AC′，∠CAD＝∠C′AD，AE＝AE，∴△AEC≌△AEC′，∴CE＝EC′.∴CE＋EF＝C′E＋EF＝FC′，此时CE＋EF取最小值．∵C′F⊥AC，BC⊥AC，∴C′F∥BC，∴△AFC′∽△ACB．∴＝，即＝，解得FC′＝. 【答案】　 类型二 面积最值问题(拓展) 经典例题2　如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，MN是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 【解析】过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于D，E两点，连接OA，OB，DA，DB，EA，EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB＋S△NAB，∴当M点到AB的距离最大时，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点．此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB＋S△EAB＝AB·CD＋AB·CE＝AB(CD＋CE)＝AB·DE＝×2×4＝4. 【答案】　C 备 考 演 练 1. 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为(　　) A． B． C．34 D．10 2. 如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是(　　) A．6 B．3 C．2 D．4.5 3. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，E是对角线AC上的任意一点，则BE＋CE的最小值为(　　) A． B．2 C.＋1 D.＋1 4. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是(　　) A． B． C．6 D．3 5. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为(　　) A. 2　　　 B. 2　　　 C. 3－1　　　 D. 3 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE的最小值是(　　) A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 7. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为(　　) A. 4 B. 2 C. 12 D. 2 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(　　) A. BC　　　 B. CE　　　 C. AD　　　 D. AC 9. 如图，A，B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为(　　) A.  B. 10 C. 2 D. 无法确定 10. 如图所示 ... ...