第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导 知识梳理 1、矩形的定义： ． 2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质 对称性： ． 矩形的性质定理①： ． 矩形的性质定理②： ． 推论：①直角三角形斜边上的中线等于 ． 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝_____． ②直角三角形中， 的角所对的直角边等于 ． 3、矩形的判定 判定①： 是矩形． 判定②： 是矩形． 判定③： 是矩形． 二、经典例题<矩形的性质> 【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ． 【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F， 连接DE．求证：DF＝DC． 2、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长． 【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形． 【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点． 求证：DF⊥BF． 2、矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，说明CE与BD的数量关系。 <矩形的判定> 【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形． 【变式题组】1、 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结． ⑴ 求证：． ⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 ①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。 三、矩形与折叠 【例】如图，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．（1）矩形OABC的周长为_____．（2）若A点坐标为（5，0），求线段AE所在直线的解析式． 【变式题组】 1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°。 2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处， 若∠ABE=60°，则∠DBC= ; 若AB=4，BC=8 那么图中阴影部分的面积是 ． 3、⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由． ⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式． 培优升级检测 1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝_____cm，BC＝_____cm，△ABO中BO边上的高=_____cm． 3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=_____. 4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_____． 5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是_____ 6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_____, AD=_____. 7、如图矩形对角线、交于，于，，则__． 8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长_____． 9、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥ ... ...
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