第十章 三角形的有关证明 10.4 线段的垂直平分线 知 识 梳 理 知识点1 线段的垂直平分线 _____的直线，叫做线段的_____，也叫中垂线。 知识点2 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到_____。 符号语言:如图所示， ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴_____。 知识点3 线段垂直平分线的逆定理 _____，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言:如图所示， ∵MA＝MB， ∴点M在线段AB的垂直平分线上。 注意 此定理只能说明点M在线段AB的垂直平分线上，并不能说明过点M的直线就是中垂线。 知识点4 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到_____。 注意 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的外部。 知识点5 用直尺和圆规作图 1.作线段的垂直平分线 2.过一点作已知直线的垂线 3.作满足条件的等腰三角形 考 点 突 破 考点1: 线段的垂直平分线 典例1 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为线段AB的垂直平分线，DE⊥AC交CA的延长线于点E。 求证:DE＝EA＋BC. 思路导析: 由线段垂直平分线的性质定理易证AC＝BC，可联想把BC转化到线段EC上，从而有EC＝EA＋BC，再证明DE＝EC即可。 证明:∵CD垂直平分AB，∴AC＝BC。∴CO平分∠ACB。 ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝45°， 在Rt△ECD中， ∵∠EDC＝90°－∠ACD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠EDC。 ∴∴DE＝EC＝EA＋AC＝EA＋BC 友情提示 与线段垂直平分线性质定理密切相关的知识有①等腰三角形；②直角三角形；③外角等基本知识。 变式1 如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC＝_____。 典例2 如图所示，在三角形中，AB＝AC，D是直线AE上的一点，且∠DBC＝∠DCB。试探究直线AD和线段BC的关系，并证明。 思路导析: 由AB＝AC，可得点A在线段BC的垂直平分线上.要注意的是，这一步仅仅是得到一个点A在垂直平分线上，还不能说AD是BC的垂直平分线.又由∠DBC＝∠DCB得DB＝DC，进而得点D在线段BC的垂直平分线上，由两点确定一条直线得AD是线段BC的垂直平分线。 解:AD是线段BC的垂直平分线，理由如下: ∵AB＝AC，∴A在线段BC的垂直平分线上。 ∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC。∴点D在线段BC的垂直平分线上。 ∴AD是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。 友情提示 由“两点确定一条直线”知，要说明AE是线段BC的垂直平分线，必须要证明点A，点D这两个点都在线段BC的垂直平分线上。 变式2 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F。求证:点E在AF的垂直平分线上。 考点2: 尺规作图 典例3 如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由。 思路导析: 把A，B，C三个村庄作为三角形的三个顶点，问题变为作三角形三边的垂直平分线的问题。 解:连接AC，AB，BC.作AC，AB的垂直平分线交于点P，所以学校的位置应设在P点. 理由:连接AP，BP，CP。∵PE是AB的垂直平分线，∴PA＝PB。 ∵PF是AC的垂直平分线，∴PA＝PC。∴ PA＝PB＝PC。 友情提示 （1）作图要做到:留痕迹，写作法，下结论（2）具体确定学校的位置还要结合地理位置来考虑，但总的原则是不变的，运用数学的方法来解决实际问题是我们学习数学的最终目的。 变式3 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置。 要求:写出已知、求作； ... ...
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