2019年山西省太原市初中数学竞赛试卷（解析版）

2019年山西省太原市初中数学竞赛试卷 一、选择题（每小题8分，共48分） 1．已知a、b、c都是正整数，且abc＝2010．则a+b+c的最小值是（　　） A．84 B．82 C．78 D．76 2．当a＜1时，化简的结果是（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 3．当x＝时，函数f（x）＝x3+4x2﹣2x﹣6的值是（　　） A．﹣3 B． C． D． 4．求作一个平行四边形，使其两邻边分别为a和2a，且两条对角线所成的锐角为60°．这样的平行四边形应当是（　　） A．仅有一个 B．有两个 C．有无穷多个 D．一个也没有 5．小明在街上碰到一家卖西瓜的摊子，听卖瓜人吆喝：“大瓜10元钱一个，中号瓜10元钱两个，小瓜10元钱三个．随便拣，随便挑．”小明仔细看了一下瓜的大小和形状：瓜近似球形，中号瓜的直径大约是大瓜直径的，小瓜的直径大约是中号瓜直径的．小明认真思考后，花20元钱买走了体积总量相对最大的（　　） A．两个大西瓜 B．四个中号西瓜 C．六个小西瓜 D．两个中号西瓜和三个小西瓜 6．某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题9分，共36分） 7．当n为任意实数，k为某一特定整数时，等式n（n+1）（n+2）（n+3）+m＝（n2+kn+1）2成立．则k＝　 　． 8．当a≠0，b≠0且a≠b时，一次函数y＝ax+b，y＝bx+a和y＝a的图象围成的图形的面积为　 　． 9．如图，将两个正方形纸片ABCD和EBFG重叠，且使直角B完全重合，然后用剪刀将它剪成若干小纸片，恰能拼成一个大正方形．请用两次剪断（按直线剪断算一次）完成此项任务，用虚线在图上画出剪痕． 10．当n是正整数时，规定n!＝n×（n一1）×…×2×l，称为n的阶乘（例如10!＝10×9×…×2×1＝3 628 800）．那么，在2 010！中，末尾共含有零的个数是　 　． 三、简答题（共4小题，共66分） 11．解方程组：． 12．函数y＝|x2﹣1|+|2x2﹣1|+|3x2﹣1|取得最小值1时，求自变量x的取值范围． 13．如图，已知△ABC的外心为0，过点B、C任意作一圆，分别与AB、AC的延长线交于点E、F．求证：AO⊥EF． 14．如图，在∠MAN内有一定点P，已知tan∠MAN＝3，P到直线AN的距离PD＝12，AD＝30．过P任作一条直线分别与AN、AM交于点B、C．求△ABC面积的最小值． 15．已知面积为4的△ABC的边长分别为BC＝a，CA＝b，AB＝c，c＞b，AD是∠A的角平分线，点C′是点C关于直线AD的对称点，若△C′BD与△ABC相似，求△ABC的周长的最小值． 16．将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得6个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值． 17．（设实数x，y，z满足x+y+z＝0，且（x﹣y）2+（y﹣z）2+（z﹣x）2≤2，求x的最大值和最小值． 18．称具有a2+161b2形式的数为“好数”，其中a，b都是整数． （1）证明：100，2010都是“好数”． （2）证明：存在正整数x，y，使得x161+y161是“好数”，而x+y不是“好数”． 参考答案 一、选择题（每小题8分，共48分） 1．【解答】解：将2010分解因式，分解得2010＝2×3×5×67＝6×5×67＝1×30×67，（67为质数） ∴a，b，c有如下可能：①2，3，335；②2，5，201，③2，15，67，④3，5，134，⑤3，10，67，⑥5，6，67； 综上可得6+5+67的值最小，即a+b+c的最小值为78． 故选：C． 2．【解答】解：∵a＜1， ∴1﹣a＞0， ∵﹣a3（1﹣a）≥0， ∴a≤0， ∴＝|a|＝﹣a， 故选：B． 3．【解答】解：∵x＝＝﹣（2+），即x+2＝﹣， 当x＝时， f（x）＝x3+4x2﹣2x﹣6 ＝x（x+2）2﹣6（x+1） ＝3x﹣6（x+1） ＝﹣3（x+2） 把x+2＝﹣代入上式得： ＝3； 故选：B． 4．【解答】解：如图 直观得出，以BC＝a为底边、顶角0为60°的所有△OBC中点O的轨迹为不含B、C两点 ... ...