1 椭圆的定义在解题中的妙用 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值 例1 线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是( ) A．2 B. C. D．5 解析 由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝. 答案 C 2．求动点坐标 例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是_____． 解析 设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知 |PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． 由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a， 此时点P恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0) 点评 由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标． 3．求焦点三角形面积 例3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解 由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①，得|PF1|＝. 所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120° ＝××2×＝，即△PF1F2的面积是. 点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解． 2 如何求椭圆的离心率 1．由椭圆的定义求离心率 例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_____． 解析 如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°. ∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin 60°＝c. ∴|AF1|＋|AF2| ＝2a＝(＋1)c. ∴e＝＝＝－1. 答案 －1 点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决． 2．解方程(组)求离心率 例2 椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝_____. 解析 如图所示， 直线AB的方程为＋＝1， 即bx－ay＋ab＝0. ∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝， ∴|a－c|＝， 即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2. 又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0. 两边同除以a2,8e2－14e＋5＝0， 解得e＝或e＝(舍去)． 答案 3．利用数形结合求离心率 例3 在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝_____. 解析 如图所示，切线PA，PB互相垂直，PA＝PB. 又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB， 则四边形OAPB是正方形， 故OP＝OA， 即＝a，∴e＝＝. 答案 4．综合类 例4 设M为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率． 解 由正弦定理，得＝＝ ＝＝， ∴e＝＝＝＝. 点评 此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝. 3 活用双曲线定义妙解题 在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． ... ...
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