2020版高中数学新人教B版必修5第一章解三角形1.1.1正弦定理学案（含解析）

1.1.1　正弦定理 学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 即：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆的半径) 知识点二　正弦定理的变形公式 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆的半径)． 知识点三　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．正弦定理对任意的三角形都成立．(　√　) 2．在△ABC中，等式bsinC＝csinB总能成立．(　√　) 3．在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　) 4．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　×　) 题型一　已知两角及一边解三角形 例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形． 解　根据正弦定理，得b＝＝＝10. 又C＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c＝＝＝20. 反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边．由正弦定理，得＝，即＝，则b＝，故选A. 题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解　∵＝，∴sinC＝＝＝， ∵c>a，C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 引申探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解　∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 反思感悟　这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边． 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 跟踪训练2　在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝. 答案　105°或15° 解析　由正弦定理＝， 得sinB＝＝＝. ∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°， ∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°. 题型三　正弦定理的证明 例3　△ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：＝＝＝2R. 证明　①若∠A为直角(如图1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA； ②在锐角△ABC中，如图2，连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角A′＝A. ∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°， ∴sinA′＝＝， ∴sinA＝，a＝2RsinA. ③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中， BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA， 即a＝2RsinA. 由①②③得a＝2RsinA，即2R＝， 同理可证，2R＝，2R＝. 所以＝＝＝2R. 反思感悟　引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，更加方便实现三角形中的边角互化． 三角形形状的判断 典例　在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C. 求证：△ABC为等腰直角三角形． 证明　∵＝， ∴＝， 又∵＝， ∴＝， ∴a2＝b2即a＝b， 设＝＝＝k(k≠0)， 则sin A＝，sin B＝，sin C＝， 又∵sin2A＋sin2B＝sin2C， ∴＋＝，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为等腰直角三角形． [ ... ...