21.3 二次函数与一元二次方程(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案 第二十一章　二次函数与反比例函数 21.3　二次函数与一元二次方程 要 点 讲 解 要点一　二次函数与一元二次方程的联系 1. 二次函数图象与一元二次方程是“形”与“数”的有机结合，一方面可以根据函数图象的特征来分析方程中的数量关系，另一方面也可以由方程中的某些数量关系得出函数图象的特征.当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y＝0时，恰好得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).此时，方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标. 2. 方程实数根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.根据方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ就能判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的个数，即对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ>0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ＝0时，二次函数的图象与x轴有唯一一个交点(即顶点)；当Δ<0时，二次函数的图象与x轴没有交点. 经典例题1　已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)： (1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围. 解：(1)当a＝0时，函数为y＝x＋1，它的图象与x轴只有一个交点(－1，0). 当a≠0时，依题意得方程ax2＋x＋1＝0有两个相等实数根. ∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝. ∴当a＝0或a＝时，函数图象与x轴恰有一个交点. (2)依题意有>0，当4a>0，4a－1>0时，解得a>； 当4a<0，4a－1<0，解得a<0. ∴a>或a<0. ∴当a>或a<0时，抛物线顶点始终在x轴上方. 点拨：图象与x轴的交点个数：(1)当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1≠x2)，这两点间的距离AB＝|x2－x1|＝.(2)当Δ＝0时，图象与x轴只有一个交点.(3)当Δ<0时，图象与x轴没有交点. 要点二　用二次函数的图象解一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以看成是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值等于0时的特殊情况，因此抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.可通过抛物线与x轴交点的位置确定一元二次方程的解或近似解. 用二次函数的图象解一元二次方程的近似解时，解的整数部分可以观察图象得到，解的小数部分的探求需用到函数的性质.当x取x1，x2时，若对应的y1，y2异号，则方程必有一根在x1与x2之间，据此采用逐步逼近的方法能使得到的根的精确度越来越高. 要点三　二次函数与一元二次不等式的关系 求不等式ax2＋bx＋c>0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y<0.具体如下表：(以a>0为例) b2－4ac的符号 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 两个交点 一个交点(即顶点) 没有交点 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 两个不等实数根x＝ 两个相等实数根x＝－ 无解 一元 二次 不等 式 ax2＋bx＋c>0(a>0) xx2 x≠－ 全体实数 ax2＋bx＋c<0(a>0) x10的解集.图象在x轴下方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集. 经典例题2　抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(　　　) A. x>－1　　　 B. x<2 C. －12 解析：图象与x轴两交点的横坐标为x＝－1与x＝2，由图象又知当－10时，图象上的点在x轴的上方；当函数值y<0时 ... ...