第五章 平 面 向 量 第一节 平面向量的概念及其线性运算(全国卷5年5考) 【知识梳理】 1.向量的有关概念 大小 方向 定义 既有_____又有_____的量 表示 方法 (1)用字母表示a,b,c (2)用有向线段表示 ,记作 模 向量的大小 2.必记概念 (1)零向量:长度为__的向量,方向任意. (2)单位向量:长度为__的向量. (3)相等向量:方向_____,长度_____的向量. (4)相反向量:方向_____,长度_____的向量. (5)共线(平行)向量:方向_____或方向_____的非零向量. 0 1 相同 相等 相反 相等 相同 相反 3.向量的线性运算 向量 加法 减法 数乘 定义 求两个向量和的运算 a+(-b) =a-b 实数λ与向量a的积是 一个_____,记作λa 相同 相 反 加法 减法 数乘 法则 (或几何 意义) (1)模:|λa|=|λ||a| (2)方向:当λ>0时, λa与a方向_____;当 λ<0时,λa与a方向___ ___;当λ=0时,λa=0 4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 _____. b=λa 【常用结论】 1.相等向量的特点: (1)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等. (2)两相等向量,如果起点相同,则其终点也相同. (3)两相等向量,如果起点不同,则其终点也不同. (4)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性. (5)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 2.两特殊向量的特点: (1)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模是 确定的,但方向不确定. (2)非零向量a的同向单位向量为 3.三点共线的条件: A,B,C三点共线,O为A,B,C所在直线外任意一点,则 且λ+μ=1. 【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量. ( ) (2)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ) (3)若向量a与b不相等,则a与b一定不可能都是零向量. ( ) 提示:(1)×.向量是既有大小又有方向的量,而有向线段是有起点和终点的线段,两者并不一样,所以命题(1)错误. (2)×.当b=0时,a与c不一定平行,所以命题(2)错误. (3)√.假设a与b都是零向量,则向量a与b相等,所以命题(3)正确. 2.给出下列四个命题: ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.命题①因为两个向量具有公共终点,但其 起点不确定,所以这两个向量不一定共线,所以该命题 错误;对于命题②,因为向量是既有大小又有方向的量, 而方向是不能比较大小的,所以该命题正确;对于命题 ③,因为λa=0时,可能λ=0,也可能a=0,所以命题③不 正确;对于命题④,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,所以命题④错误. 题组二:走进教材 1.(必修4P91T8改编)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,所以a⊥b. 2.(必修4P119T1(2)改编)已知正方形ABCD的边长为1, =a, =b, =c,则|a+b+c|等于 ( ) A.0 B.3 C. D.2 【解析】选D.在正方形ABCD中,a+b+c= 所以|a+b+c|=2| |=2 . 考点一 平面向量的基本概念 【题组练透】 1.下面说法正确的是 ( ) A.平面内的单位向量是唯一的 B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C.所有的单位向量都是共线的 D.所有单位向量的模相等 【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确. 2.给出下列命题: ①零向量是唯一没有方向的向量; ②零向量的长度等于0 ... ...
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