22.2.5 直角三角形相似的判定学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案 第二十二章　相似形 22.2　相似三角形的判定 第5课时　直角三角形相似的判定 要 点 讲 解 要点一　斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 判定两个直角三角形相似，除了上面所讲的定理外，还有下面的方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 经典例题1　如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 解：∵AC＝，AD＝2，∴CD＝＝. 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ①当＝时，有Rt△ABC∽Rt△ACD，∴AB＝＝3； ②当＝时，有Rt△ACB∽Rt△CDA，∴AB＝＝3. 故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似. 点拨：此方法只对直角三角形成立，对其他三角形不成立.另外，判定两个直角三角形相似除了应用此方法外，还可以应用三角形相似的判定定理. 要点二　三角形相似的判定的综合 三角形相似的判定的基本图形. 如图所示，图(1)中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；图(2)中，若∠ADE＝∠C，则△ADE∽△ACB；图(3)中，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC；图(4)中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；图(5)中，若∠ACB＝∠CDB＝90°，则△ACD∽△CBD∽△ABC. 经典例题2　在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由. (1)∠A＝25°，∠B′＝65°； (2)AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8； (3)AB＝10，AC＝8，A′B′＝15，B′C′＝9. 解：(1)相似.因为在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，则∠B＝90°－25°＝65°，所以∠B＝∠B′. 又∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC∽△A′B′C′. (2)相似.因为＝＝，＝＝，所以＝.又∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC∽△A′B′C′. (3)相似.因为在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，所以＝＝，＝＝，从而＝. 从而Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 点拨：本题考查用多种方法判定直角三角形相似.如果是用斜边和一条直角边对应成比例这种方法来判定，必须写明是“直角三角形”.为了防止弄混对应的边或角，或画出图形，借助图形的直观性判断对应关系. 当 堂 检 测 1. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中有相似三角形(　　) A. 5对 B. 6对 C. 10对 D. 20对 第1题 第2题 2. 如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于(　　) A.  B.  C.  D.  3. 如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，下列条件中，①∠A＋∠B＝90°，②AB2＝AC2＋BC2，③＝，④CD2＝AD·BD，能证明△ABC为直角三角形的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第3题 第4题 4. 如图，AC⊥AB，BD⊥AB，点P在ABC上，且AB＝12cm，PC＝2PD，当AP＝ 时，△APC∽△BPD. 5. 如图，点D是Rt△ABC斜边上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，若AF＝10，BE＝15，则四边形DECF的面积是 . 6. 如图，在△ABC和△A′B′C′中，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，＝＝. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，AC＝3，DB＝，求AD，CD，CB的长. 当堂检测参考答案 1. C 2. A 3. C 4. 8cm 5. 150 7. 解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠A＝∠A，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，同理得Rt△ABC∽△RtCBD，∴Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，∴AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB，CB2＝DB·AB，而AC＝3，DB＝，∴AD(AD＋)＝9，解得AD＝或－5(舍去)，∴AD＝，∴CD2＝AD·DB＝×，∴CD＝，∴CB2＝DB·AB＝×(＋)＝16，∴BC＝4. ... ...