4.6 利用相似三角形测高学案(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学九年级上册同步学案 第四章　图形的相似 6　利用相似三角形测高 要 点 讲 解 要点　利用相似三角形测高 1. 利用阳光下的影子 方法：如图，身高为a的小明直立于旗杆AB的影子的顶端D处，测量小明的影长DE＝b，同一时刻测量旗杆AB的影长BD＝c. 原理：因为CE∥AD，所以∠CED＝∠ADB. 又因为CD⊥BE，AB⊥BE， 所以△CDE∽△ABD，所以＝， 即＝，所以AB＝. 即旗杆的高度为. 总结：基本思路是利用太阳光是平行光线以及人、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例列出关系式求解. 2. 利用标杆 方法：如图，人的眼睛到地面的高度CD＝m，标杆GF的高度为n，人与标杆的水平距离DF＝a，旗杆与标杆的水平距离BF＝b. 原理：过点C作CE⊥AB于点E，交GF于点H. 因为GF⊥BD，AB⊥BD，所以GH∥AB，所以∠GHC＝∠AEC. 又因为∠GCH＝∠ACE， 所以△CGH∽△CAE，所以＝. 因为CH＝DF＝a，GH＝GF－HF＝GF－CD＝n－m，CE＝BD＝DF＋BF＝a＋b， 所以＝，所以AE＝. 所以AB＝AE＋BE＝＋m 即旗杆的高度为＋m. 总结：借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人、标杆、旗杆与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出关系式求解. 3. 利用镜子的反射 方法：如图，测得人的眼睛与地面的距离CD＝a，测量人的脚部与镜子的距离DE＝b，旗杆的底端B与镜子的距离BE＝c. 原理：因为CD⊥BD，AB⊥BD，所以∠CDE＝∠ABE＝90°. 又根据“入射角等于反射角”可得∠CED＝∠AEB. 所以△CDE∽△ABE，所以＝， 即＝，所以AB＝. 即旗杆的高度为. 总结：利用镜子的反射测量旗杆的高度，思路是根据“入射角等于反射角”，人、旗杆与地面垂直，构造相似三角形，根据对应边成比例列出关系式求解. 经典例题1　如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝0.7m，BP＝0.9m，PD＝15m，那么该古城墙的高度是多少米？ 解析：小明和古城墙都与地面垂直，∠APB＝∠CPD，则△ABP∽△CDP，由此列比例式求解. 解：在△APB和△CPD中，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°.又∵∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴＝，即＝，解得CD＝(m).即古城墙的高度是m. 易错易混警示　影子不在同一平面时，用错影子的长度导致计算错误 经典例题2　如图，某时刻大树AB的影子一部分在BD上，另一部分都在墙上的CD处，同时1.2m的标杆影长3m，已知CD＝4m，BD＝6m，求大树的高度. 解：设大树高度为xm，过点D作DF∥AC，交AB于点F. 又∵AB∥CD.∴四边形AFDC为平行四边形，∴AF＝CD，则BF＝AB－AF＝AB－CD＝(x－4)m.∴＝，即＝.解得 x＝6.4.即大树的高是为6.4m. 当 堂 检 测 1. 要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出(　　) A. 仰角　 B. 树的影长 C. 标杆的影长 D. 都不需要 2. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　) A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 第2题 第3题 3. 如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为(　　) A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 4. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为 m. 第4题 第5题 5. 为了测量校园内一棵大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4m的E处，然 ... ...