4.1数学归纳法 一、教学目标 1．了解数学归纳法的原理及其使用范围． 2．会利用数学归纳法证明一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 1．了解数学归纳法的原理及其使用范围． 2．会利用数学归纳法证明一些简单问题． 四、教学难点 1．了解数学归纳法的原理及其使用范围． 2．会利用数学归纳法证明一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( ) A．k∈N B．k＞1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋ 【解析】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1. /【/答案】 C （二）讲授新课 教材整理 数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 时命题成立； (2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． （三）重难点精讲 题型一、用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 【精彩点拨】 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并． 【自主解答】 ①当n＝1时，左边＝1－＝＝/＝右边，所以等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－ ＝＋ ＝＋…＋＋＋＝右边， 所以，n＝k＋1时等式成立． 由①②知，等式对任意n∈N＋成立． 规律总结： 1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节． [再练一题] 1．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右/边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立． 题型二、用数学归纳法证明整除问题 例2用数学归纳/法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设/法配凑． 【自主解答】 (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时， [ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]·7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1 ＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k. ∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除， ∴[ /(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除， 即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除， 即当n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 规律总结： 1．证明本题 ... ...
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