二次根式的乘除运算—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】 要点一、二次根式的乘法 1.乘法法则： /（/≥0，/≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： /≥0，/≥0，…../≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成/的形式，则应化简，如/. 要点二、二次根式的除法 1.除法法则： /（/≥0，/>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，/≥0，/>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 要点三、分母有理化 1.分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用/来确定，如：/，/，/与/等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如/与/，/，/分别互为有理化因式. 要点诠释： 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 【典型例题】 类型一、二次根式的乘除运算 /1．(1)/×/； (2)/×/； (3)/； (4)/； 【答案与解析】(1)/×/=/； (2)/×/=/=/； (3)/=/=/=2； (4)/=/=/×2=2/. 【总结升华】直接利用//计算即可． 举一反三： 【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)/； (2)/×/=4×/×/=4/×/=4/=8/. 【答案】(1)不正确． 改正：/=/＝/×/=2×3=6； (2)不正确． 改正：/×/=/×/=/=/=/＝4/. /2. （2019春?德州校级月考）计算：/． 【思路点拨】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可． 【答案与解析】 解：/ =3×（﹣/）×2/ =﹣/×5 =﹣/． 【总结升华】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键． /3.已知0＜/＜/,化简/. 【答案与解析】原式=/=/=/ 【总结升华】/成立的条件是/＞0；若/＜0,则/. 类型二、分母有理化 /4. 把下列各式分母有理化： / / / 【思路点拨】找分母有理化因式. 【答案与解析】 （1）/ （2）/ （3）/ 【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，///与///，a//与a//，//b与//b都是互为有理化因式. 举一反三： 【变式】（2018?科左中旗校级一模）观察下列等式： ①/=/=/﹣1 ②/=/=/﹣/ ③/=/=/﹣/ …… 回答下列问题： （1）化简：/= ；（n为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算：/+/+/+…+/+/． 【答案】 解：（1）/=/； 故答案为：/． （2）/+/+/+…+/+/ =/…+/ =﹣1/． 二次根式的乘除运算—巩固练习（基础） 【巩固练习】 选择题 1.计算/的结果是（ ） A．/ B./ C./ D./ 2.当/＜0, /＜0时，化简/得（ ） A．/ B.-/ C./ D. / 3.在/中，最简二次根式有（ ） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. （2019春?柘城县校级月考）化简/结果正确的是（ ） A．3/ B．3/ C．17/ D．17﹣12/ 5.（2018春?杭州校级月考）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①/?/=1；②/=/；③/÷/=﹣b，其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6. 已知/，化简二次根式/的正确结果为（ ）. A. ... ...
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