《实数和二次根式》全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 / / 【要点梳理】 要点一、平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 / / 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 / / 要点二、无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 实数/ 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如/，/等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2.实数与数轴上的点一 一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数/的绝对值是非负数，即|/|≥0； （2）任何一个实数/的平方是非负数，即/≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即/ (/). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 数/的相反数是－/；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如/的式子叫做二次根式，如/等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式/有意义的条件是/，即只有被开方数/时，式子/才是二次根式，/才有意义. 2.二次根式的性质 （1）/；/ （2）/； （3）/. 要点诠释：（1） 一个非负数/可以写成它的算术平方根的平方的形式，即// （/），如/（/）. （2） /中/的取值范围可以是任意实数，即不论/取何值，/一定有意义. （3）化简/时，先将它化成/，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）/与/的异同 不同点：/中/可以取任何实数，而/中的/必须取非负数； /=/，/=/（/）. 相同点：被开方数都是非负数，当/取非负数时，/=/. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. ... ...
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